1. \[\begin{aligned} (f+g)'(x) &=\lim_{h\to 0}\frac{(f+g)(x+h)-(f+g)(x)}{h}\\ &=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)+g(x+h)-f(x)-g(x)}{h}\\ &=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}+\lim_{h\to 0}\frac{g(x+h)-g(x)}{h}\\ &=f'(x)+g'(x). \end{aligned}\]
2. \[\begin{aligned} (\lambda f)'(x) &=\lim_{h\to 0}\frac{(\lambda f)(x+h)-(\lambda f)(x)}{h}\\ &=\lim_{h\to 0}\frac{\lambda f(x+h)-\lambda f(x)}{h}\\ &=\lambda\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\\ &=\lambda f'(x)\,. \end{aligned}\] (Cette propriété peut aussi être vue comme une conséquence de la suivante, où une des fonctions est prise comme étant constante.)
3. Par définition, \[ (f\cdot g)'(x)= \lim_{h\to 0}\frac{(f\cdot g)(x+h)-(f\cdot g)(x)}{h}\,. \] Récrivons le quotient comme suit: \[\begin{aligned} &\frac{(f\cdot g)(x+h)-(f\cdot g)(x)}{h}\\ &\qquad=\frac{f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x)}{h}\\ &\qquad=\frac{f(x+h)g(x+h){\color{blue}-f(x)g(x+h)+f(x)g(x+h)}-f(x)g(x)}{h}\\ &\qquad= \frac{f(x+h)-f(x)}{h}\cdot g(x+h)+ f(x)\cdot \frac{g(x+h)-g(x)}{h} \end{aligned}\] Dans cette dernier ligne, les quotients convergent respectivement vers \(f'(x)\) et \(g'(x)\). Puis, comme \(g\) est dérivable, elle est continue en \(x\), et donc \[ \lim_{h\to 0}g(x+h)=g(x)\,. \] Ceci implique que \[ \lim_{h\to 0}\frac{(f\cdot g)(x+h)-(f\cdot g)(x)}{h} =f'(x)g(x)+f(x)g'(x)\,. \]
4. En procédant comme dans le point précédent, \[\begin{aligned} \left(\frac{f}{g}\right)'(x) &=\lim_{h\to 0}\frac{\frac{f(x+h)}{g(x+h)}-\frac{f(x)}{g(x)}}{h}\\ &=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)\cdot g(x)-f(x)\cdot g(x+h)}{h\cdot g(x+h)\cdot g(x)}\\ &=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)\cdot g(x) -f(x)\cdot g(x) +f(x)\cdot g(x)-f(x)\cdot g(x+h)}{h\cdot g(x+h)\cdot g(x)}\\ &=\frac{1}{g(x)}\lim_{h\to 0}\frac{1}{g(x+h)}\cdot \lim_{h\to 0}\left[g(x)\cdot\frac{(f(x+h)-f(x))}{h}-f(x)\cdot \frac{(g(x+h)-g(x))}{h}\right]\\ &=\frac{1}{g(x)}\cdot \frac{1}{g(x)} \cdot (g(x)\cdot f'(x)-f(x)\cdot g'(x))\\ &=\frac{g(x)\cdot f'(x)-f(x)\cdot g'(x)}{g^2(x)}. \end{aligned}\]

Commençons par les exposants entiers positifs, \(x\in \mathbb{N}^*\). On procède par récurrence sur \(n\).

Lorsque \(n=1\), \(f(x)=x^1\), et donc \[ (x^1)' =\lim_{h\rightarrow 0}\frac{(x+h)^1-x^1}{h} =\lim_{h\rightarrow 0}\frac{(x+h)-x}{h} =\lim_{h\rightarrow 0}\frac{h}{h} =1\,. \] Puisqu'on peut écrire cette dernière comme \((x^1)'=1\cdot x^{1-1}\), on a démontré le résultat pour \(n=1\).

Supposons que pour un certain \(n\in \mathbb{N}^*\), \((x^n)'=nx^{n-1}\). Pour \(n+1\), on peut écrire \(x^{n+1}=x^n\cdot x\), et utiliser la règle de dérivation d'un produit: \[\begin{aligned} (x^{n+1})' &=(x^n\cdot x)'\\ &=(x^n)'\cdot x+x^n\cdot (x)'\\ &=nx^{n-1}\cdot x+x^n\cdot 1\\ &=nx^n+x^n =(n+1)x^n =(n+1)x^{(n+1)-1}\,. \end{aligned}\] Donc la formule est aussi vraie pour \(n+1\).

Si on considère maintenant \(n\in \mathbb{Z}\), \(n\lt 0\), alors \(m=-n\in \mathbb{N}^*\), et donc par la règle de dérivation d'un quotient, \[\begin{aligned} (x^n)'= (x^{-m})' &=\left(\frac{1}{x^m}\right)'\\ &=\frac{-(x^m)'}{(x^m)^2}\\ &=\frac{-mx^{m-1}}{x^{2m}}\\ &=(-m)x^{-m-1}=nx^{n-1}\,. \end{aligned}\]

Commençons par le cas \(p=1\), \(q\in \mathbb{N}^*\). On a \[ (x^{\frac{1}{q}})' = \lim_{\widetilde{x}\to x}\frac{\widetilde{x}^{1/q}-x^{1/q}}{\widetilde{x}-x}\,. \] Effectuons le changement de variable \(\widetilde{x}^{1/q}=\widetilde{y}\), \(x^{1/q}=y\): \[\begin{aligned} \lim_{\widetilde{x}\to x}\frac{\widetilde{x}^{1/q}-x^{1/q}}{\widetilde{x}-x} &=\lim_{\widetilde{y}\to y}\frac{\widetilde{y}-y}{\widetilde{y}^q-y^q}\\ &=\lim_{\widetilde{y}\to y}\frac{1}{\frac{\widetilde{y}^q-y^q}{\widetilde{y}-y}}\\ &=\frac{1}{\lim_{\widetilde{y}\to y}\frac{\widetilde{y}^q-y^q}{\widetilde{y}-y}}\\ &=\frac{1}{q y^{q-1}}\\ &=\frac{1}{q (x^{1/q})^{q-1}}\\ &=\tfrac{1}{q}x^{\frac{1}{q}-1} \end{aligned}\] Maintenant, pour une valeur quelconque \(p\in \mathbb{N}^*\), par la règle de dérivation d'une composée, \[\begin{aligned} (x^{\frac{p}{q}})' &=\left((x^{1/q})^p\right)'\\ &=p(x^{1/q})^{p-1}(x^{1/q})'\\ &=p(x^{1/q})^{p-1}\tfrac1q x^{1/q-1}\\ &=\tfrac{p}{q}x^{\frac{p}{q}-1}\,. \end{aligned}\]

Par définition, \[ (\sin(x))' =\lim_{h\to 0}\frac{\sin(x+h)-\sin(x)}{h} \] On utilise la relation (voir Analyse A) \[ \sin(x+h)=\sin(x)\cos(h)+\cos(x)\sin(h)\,. \] Après avoir réarrangé les termes, le quotient devient \[\begin{aligned} \frac{\sin(x+h)-\sin(x)}{h} &=\sin(x)\cdot\frac{\cos(h)-1}{h}+\cos(x)\cdot\frac{\sin(h)}{h}\,. \end{aligned}\] Or on a d'une part que \(1-\cos(h)\sim h^2/2\) au voisinage de \(h=0\), donc \[ \lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}= \lim_{h\to 0}\frac{-h^2/2}{h}=0\,, \] et d'autre part on sait que \[ \lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{h}=1\,. \] Ceci implique que \[ \lim_{h\to 0}\frac{\sin(x+h)-\sin(x)}{h}=\cos(x)\,. \] En utilisant ensuite les relations \[\begin{aligned} \sin(x+\tfrac{\pi}{2})&= \cos(x)\,,\\ \cos(x+\tfrac{\pi}{2})&= -\sin(x)\,,\\ \end{aligned}\] on peut utiliser la formule pour la dérivée d'une composée comme suit: \[\begin{aligned} (\cos(x))' &=\left(\sin(x+\tfrac{\pi}{2})\right)'\\ &=\cos(x+\tfrac{\pi}{2})\cdot\underbrace{(x+\tfrac{\pi}{2})'}_{=1}\\ &=-\sin(x)\,. \end{aligned}\] Finalement, par la règle de dérivation d'un quotient, \[\begin{aligned} (\tan(x))'= \left(\frac{\sin(x)}{\cos(x)}\right)'= \frac{\cos^2(x)+\sin^2(x)}{\cos^2(x)}\,, \end{aligned}\] que l'on peut simplifier avec \(\cos^2(x)+\sin^2(x)=1\), ou alors séparer en \[ \frac{\cos^2(x)+\sin^2(x)}{\cos^2(x)}= \frac{\cos^2(x)}{\cos^2(x)}+ \frac{\sin^2(x)}{\cos^2(x)}=1+\tan^2(x) \]