Étant donné une fonction \(f\) définie sur un voisinage de \(x_0\), une information sur le taux de variation de \(f\) sur l'intervalle \([x_0,x_0+h]\) est donnée par le quotient \[ \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{(x_0+h)-x_0}=\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}\,, \] appelé le rapport de Newton de \(f\) en \(x_0\). On pense à \(h\) comme un petit changement en \(x\).
Géométriquement, le rapport de Newton représente la pente de la droite sécante (en vert sur le dessin ci-dessous) au graphe de \(f\), reliant les points \((x_0,f(x_0))\) et \((x_0+h,f(x_0+h))\).
Remarque: Si on imagine que \(f(t)\) représente la distance parcourue par une particule jusqu'au temps \(t\), le rapport de Newton \[ \frac{f(t_0+h)-f(t_0)}{h} \] représente la vitesse moyenne entre les instants \(t_0\) et \(t_0+h\). Plus \(h\) est petit, plus cette vitesse moyenne est proche de la vitesse instantanée en \(x_0\).
Plus \(h\) est petit, plus l'information donnée par le rapport de Newton
sur la variation de \(f\) est précise.
On peut donc se poser la question:
Que se passe-t-il si on fait tendre \(h\to 0\) ?
Si \(f\) est continue, \((x_0+h,f(x_0+h))\) se rapproche de
\((x_0,f(x_0))\) à mesure que \(h\) se rapproche de zéro.
La limite du rapport de Newton représente donc une indétermination
''\(\frac{0}{0}\)''.
Listons quelques comportements possibles.
Lorsque \(h\to 0\), le rapport de Newton
\[
\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}
\]
peut...
Considérons des exemples pour chacun de ces cas de figure.
Exemple: \(f(x)=x^2\) est continue en \(x_0=2\) et \[\begin{aligned} \lim_{h\to 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h} &=\lim_{h\to 0}\frac{(2+h)^2-2^2}{h}\\ &=\lim_{h\to 0}\frac{4+4h+h^2-4}{h}\\ &=\lim_{h\to 0}(4+h)=4\,. \end{aligned}\] Géométriquement, la pente de la droite sécante (reliant les points \((2,f(2))\) à \((2+h,f(2+h))\)) tend vers \(4\) lorsque \(h\) tend vers \(0\).
Exemple: Considérons \[ f(x)= \begin{cases} x\cdot\sin\left(\frac{1}{x}\right) & \text{ si } x\neq 0,\\ 0 & \text{ si } x= 0\,, \end{cases} \] qui est continue en \(x_0=0\) puisque \[ \lim_{x\to 0}f(x)=0=f(0)\,, \] mais pour laquelle \[ \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h} =\frac{h\cdot \sin\left(\frac{1}{h}\right)}{h} =\sin\left(\frac{1}{h}\right)\,, \] qui est borné mais n'a pas de limite lorsque \(h\to 0\). Géométriquement, la pente de la droite sécante oscille entre \(+1\) et \(-1\) à mesure que \(h\) se rapproche de \(0\).
Exemple: Considérons \(f(x)=\sqrt[3]{x-1}\), qui est continue en \(x_0=1\) et \[\begin{aligned} \lim_{h\to 0}\frac{f(1+h)-f(1)}{h} &=\lim_{h\to 0}\frac{\sqrt[3]{(1+h)-1}-\sqrt[3]{1-1}}{h}\\ &=\lim_{h\to 0}\frac{\sqrt[3]{h}}{h}\\ &=\lim_{h\to 0}\frac{1}{\sqrt[3]{h^2}}\\ &=+\infty\,. \end{aligned}\] Géométriquement, la droite tangente au graphe de \(f\) en \(1\) est verticale:
On peut écrire le nombre dérivé de diverses manières: \[\begin{aligned} f'(x_0) &=\lim_{h\to 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}\\ &=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}\\ &=\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}. \end{aligned}\] Géométriquement, l'existence de la dérivée \(f'(x_0)\) est équivalente à l'existence d'une tangente au graphe de \(f\) au point \((x_0,f(x_0))\). En effet, lorsque \(h\to 0\), la droite sécante tend vers la droite tangente au point \(x_0\).
La pente de la tangente au graphe de \(f\) en \(x_0\) est donc
\[f'(x_0)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}=\tan(\varphi).\]
L'équation de la tangente au graphe de \(f\) en \(x_0\) est
\[y=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0),\]
qui est l'équation de la droite de pente \(f'(x_0)\) passant par le point
\((x_0,f(x_0))\).
Exemples:
Le dernier exemple le suggère: des limites latérales permettent d'introduire des notions de dérivabilité latérale.
Géométriquement, ces dérivées latérales représentent les pentes des demi-droites tangentes au graphe de \(f\) à gauche et à droite, au point \((x_0,f(x_0))\).
Théorème: \(f\) est dérivable en \(x_0\) \(\iff\) \(f\) est dérivable à gauche et à droite en \(x_0\), et \(f'_-(x_0)=f'_+(x_0)\).
Exemple: Soit \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) définie par \[ f(x)= \begin{cases} (x^2+x+2)/2 &\text{ si }x\lt 0\,,\\ \sqrt{x+1}&\text{ si }x\geqslant 0\,. \end{cases} \] On a \(f(0)=\sqrt{0+1}=1\), et donc \[\begin{aligned} f'_-(0) =\lim_{h\to 0^-}\frac{f(h)-f(0)}{h} &=\lim_{h\to 0^-}\frac{(h^2+h+2)/2-1}{h}\\ &=\lim_{h\to 0^-}\frac{h+1}{2}\\ &=\frac12\,, \end{aligned}\] et \[\begin{aligned} f'_+(0)=\lim_{h\to 0^+}\frac{f(h)-f(0)}{h} &=\lim_{h\to 0^+}\frac{\sqrt{h+1}-1}{h}\\ &=\lim_{h\to 0^+}\frac{1}{\sqrt{h+1}+1}\\ &=\frac12\,. \end{aligned}\] Comme \(f'_-(0)=f'_+(0)=\frac12\), on en déduit par le théorème que \(f\) est dérivable en \(x_0=0\) et que sa dérivée en ce point vaut \(f'(0)=\frac{1}{2}\).
Exemple: Soit \(f(x)=|x-1|\). On a vu plus haut que les dérivées latérales en \(x_0=1\)existent, et que \[ f'_-(1) =-1\,,\qquad f'_+(1)=+1\,. \] Ainsi, \(f'_-(1)\neq f'_+(1)\), et par conséquent le théorème implique que \(f\) n'est pas dérivable en \(1\).
Théorème: Si \(f\) est une fonction définie sur un voisinage de \(x_0\), alors \[f \text{ est dérivable en }x_0 \quad \Longrightarrow \quad f\text{ est continue en }x_0\,. \] L'implication est aussi vraie si on replace la dérivabilité et la continuité par leurs analogues latéraux.
Supposons que \(f\) est dérivable en \(x_0\). On a \[\begin{aligned} \lim_{x\to x_0}[f(x)-f(x_0)] &=\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\cdot (x-x_0)\\ &=\left(\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\right) \cdot \left(\lim_{x\to x_0} (x-x_0)\right)\\ &=f'(x_0)\cdot 0\\ &=0. \end{aligned}\] On a donc \(\lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)\): \(f\) est continue en \(x_0\).
Attention: la réciproque du théorème est fausse! Par exemple, la fonction \(f(x)=|x|\) est continue au point \(x_0=0\) mais elle n'est pas dérivable en ce point.
Le théorème ci-dessus nous montre que la continuité est une condition nécessaire pour qu'une fonction soit dérivable. Mais il n'y a pas besoin de montrer séparément la continuité; il suffit de montrer que la fonction est dérivable, et sa continuité est immédiate par le résultat ci-dessus.
Dernière compilation: 2024-06-03 (22:36:08)
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