Analyse B (MAN)

On a déjà donné les définitions d'extrema, à savoir de maximum/minimum global/local dans une section précédente.

À titre d'illustration, voyons quelques cas ''faciles'' de fonctions pour lesquelles les extrema peuvent être trouvés sans difficulté.

Exemple: Soit \(f:[0,3]\to \mathbb{R}\), définie par \(f(x)=x^2-2x\).

Puisque \(f(x)=(x-1)^2-1\), on peut représenter la parabole précisément, et en déduire que \(f\) possède:

un minimum global en \(x=1\),
un maximum global en \(x=3\),
un maximum local en \(x=0\).

Exemple: Soit \(f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}\), définie par \(f(x)=\sin(x)\).

\(f\) possède

une infinité de maximums globaux, en \(\frac{\pi}{2}+2\pi k\), \(k\in \mathbb{Z}\),
une infinité de minimums globaux, en \(-\frac{\pi}{2}+2\pi k\), \(k\in \mathbb{Z}\).

Exemple: Soit \(f:[0,2]\to \mathbb{R}\), définie par \[ f(x)= \begin{cases} 1-|x-1| & \text{ si } x\neq 1,\\ -1 & \text{ si } x=1\,. \end{cases} \]

Alors \(f\)

possède un minimum global en \(x=1\),
possède deux minimums locaux en \(x=0\) et en \(x=2\),
ne possède pas de maximum (ni local ni global).

Recherche analytique d'extrema

Comment peut-on trouver les extrema d'une fonction donnée, par des méthodes analytiques?

Avant de chercher des extrema, il faudrait déjà être sûr que la fonction en possède. Et rappelons que si la fonction est continue, et définie sur un intervalle fermé et borné, \(f:[a,b]\to\mathbb{R}\), alors l'existence des extrema globaux est garantie, ce qui est un bon point de départ, même si on a besoin d'un algorithme plus précis qui mène à leur détermination.

Ensuite, on a aussi vu le résultat suivant: pour une fonction dérivable \(f\) sur \(]a,b[\), si \(f\) possède un minimum/maximum local en \(x_0\in ]a,b[\), alors \(f'(x_0)=0\). On a aussi noté que sa réciproque n'est pas vraie.

Donc si \(f'(x_0)=0\), alors \(x_0\) est un candidat à être un minimum/maximum local.

Mais si \(f\) n'est pas dérivable en \(x_0\), \(f\) peut y posséder un minimum/maximum local, ou pas:

Théorème: Soit \(f\) continue en \(x_0\) et dérivable dans un voisinage épointé de \(x_0\). Si \(f'\) change de signe en \(x_0\), alors \(f\) possède un extremum local en \(x_0\).

Par ''change de signe en \(x_0\)'', on veut dire qu'il existe \(\delta\gt 0\) tel que

Remarques:

Il faut vérifier la continuité de \(f\) en \(x_0\) ! Sinon, l'assertion du théorème pourrait être fausse. Par exemple, reprenons l'exemple précédent \[f:[0,2]\to \mathbb{R}, f(x)= \begin{cases} 1-|x-1| & \text{ si } x\neq 1,\\ -1 & \text{ si } x=1. \end{cases}\] \(f\) n'est pas continue en \(x_0=1\), et malgré le changement de signe de \(f'\) en \(x_0\), il n'y a pas de max en \(x_0\).
La réciproque du théorème est fausse: si \(f\) possède un extremum local en \(x_0\), \(f'\) ne change pas forcément de signe en \(x_0\).

Pour les extrema globaux, en vu du fait que les extrema globaux sont aussi des extrema locaux, il faut juste évaluer la fonction aux points qu'on a trouvés ci-dessus comme extrema locaux, et trouver parmi eux les plus grandes et les plus petites valeurs. Rappel: une fonction continue atteint ses bornes sur un intervalle fermé.

Exemples:

\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\), \(f(x)=x^3-x\).

\(f'(x)=3x^2-1\) et donc \(f'(x)=0\iff x=\frac{\pm 1}{\sqrt{3}}\).
Il n'y a pas d'extrema globaux.
\(f:[-\pi,\pi]\to \mathbb{R}\), \(f(x)=\sin|x|\).

On a \(f(x)= \begin{cases} \sin(x) & \text{ si } 0\leqslant x \leqslant \pi\\ \sin(-x) & \text{ si } -\pi\leqslant x \lt 0, \end{cases}\)

et donc, puisque \(\sin(-x)=-\sin(x)\), \(f'(x)= \begin{cases} \cos(x) & \text{ si } 0\lt x \lt \pi\\ -\cos(x) & \text{ si } -\pi \lt x \lt 0. \end{cases}\)

En \(0\), on a \[\begin{aligned} f'_+(0) &= \lim_{x\to 0^+} \frac{f(x)-f(0)}{x-0} =\lim_{x\to 0^+}\frac{\sin(x)}{x}=1,\\ f'_-(0) &= \lim_{x\to 0^-} \frac{f(x)-f(0)}{x-0} =\lim_{x\to 0^-}\frac{-\sin(x)}{x}=-1, \end{aligned}\] et donc \(f\) n'est pas dérivable en \(0\).

Les candidats sont
- \(x=\pm \frac{\pi}{2}\) (\(\iff f'(x)=0\)),
- \(x=0\), où \(f\) n'est pas dérivable,
- \(x=\pm \pi\), les points du bord.
Ici, les extrema locaux sont aussi globaux.

5.8 Extrema de fonctions

Recherche analytique d'extrema