Analyse B (MAN)

Preuve:

L'équation de la sécante \(d\) passant par \((a,f(a))\) et \((b,f(b))\) est \[y=\left(\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\right)\cdot (x-a)+f(a).\]

On définit la fonction de la différence entre \(d\) et \(f(x)\): \[g(x):=f(x)-\left[\left(\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\right)\cdot (x-a)+f(a)\right].\] \(g\) est continue sur \([a,b]\) et dérivable sur \(]a,b[\), car \(f\) l'est, et on a \(g(a)=g(b)=0\). Les hypothèses du Théorème de Rolle sont alors vérifiées, et on a donc un \(x_0\in]a,b[\) tel que \(g'(x_0)=0\). Mais \[g'(x)=f'(x)-\left(\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\right),\] et donc \(g'(x_0)=f'(x_0)-\left(\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\right)=0\) implique que \[f'(x_0)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}.\]

Remarques:

Le Théorème des accroissements finis est une généralisation du Théorème de Rolle.
Si \(f\) décrivait la distance parcourue en fonction du temps, le TAF dirait qu'il y a un moment auquel la vitesse instantanée est égale à la vitesse moyenne entre le temps \(a\) et le temps \(b\). Par exemple, si on réalise un trajet à une vitesse moyenne de \(100\) km/h, alors il doit y avoir un moment du trajet où on roule à \(100\) km/h !
Géométriquement, ce théorème dit qu'il y a au moins un point \(x_0\) entre \(a\) et \(b\) tel que la tangente en \(x_0\) est parallèle à la droite sécante entre \((a,f(a))\) et \((b,f(b))\).
Ce résultat est essentiel pour déduire des conséquences géométriques de la dérivée, comme on va voir.

Exemples:

Soit \(f(x)= \begin{cases} -1 & \text{ si } x\leqslant 1,\\ x^2-2x & \text{ si } x\gt 1. \end{cases}\) et soit \(\Gamma\) le graphe de \(f\). Déterminons \(x_0\in ]0,4[\) tel que la tangente à \(\Gamma\) en \(x_0\) est parallèle à la sécante passant par \((0,f(0))=(0,-1)\) et \((4,f(4))=(4,8)\).
Pour pouvoir appliquer le TAF sur \(]0,4[\), il nous faut vérifier les hypothèses
- \(f\) continue sur \([0,4]\), et
- \(f\) dérivable sur \(]0,4[\).
En effet, \(f\) est continue sur \([0,4]\), puisque \(f\) est clairement continue en \(x\neq 1\), et en \(1\) on a \(\lim_{x\to 1^-} f(x)= -1 =\lim_{x\to 1^+} f(x)\), donc \(f\) y est continue aussi.

\(f\) est clairement dérivable en \(x\neq 1\), et en \(1\) on a \[\begin{aligned} &\lim_{h\to 0^-} \frac{f(1+h)-f(1)}{h}=\lim_{h\to 0^-}\frac{-1-(-1)}{h}=0, \text{ et}\\ &\lim_{h\to 0^+} \frac{f(1+h)-f(1)}{h}=\lim_{h\to 0^+}\frac{(1+h)^2-2(1+h)-(-1)}{h}=\lim_{h\to 0^+}\frac{h^2}{h}=0, \end{aligned}\] d'où \(f\) est dérivable en \(1\) aussi. Alors le TAF s'applique et implique que \(x_0\) existe. On peut le trouver explicitement.

La pente de la sécante passant par \((0,-1)\) et \((4,8)\) est \(\frac{8-(-1)}{4-0}=\frac{9}{4}\).

La pente de la tangente en \(x_0\) est \[f'(x_0)=\begin{cases} 0 & \text{ si } x_0\leqslant 1,\\ 2x_0-2 & \text{ si } x_0\gt 1. \end{cases}\] Pour que les deux droites soient parallèles, il nous faut \(f'(x_0)=\frac{9}{4}\), c'est-à-dire \(2x_0-2=\frac{9}{4}\). On a donc \(x_0=\frac{17}{8}\in ]0,4[\).
Soit \(f(x)=|x|\). La pente de la sécante passant par \((-1,f(-1))\) et \((1,f(1))\) est \(0\). Mais il n'y a pas de \(x_0\in ]-1,1[\) tel que \(f'(x_0)=0\), et donc pas de tangente parallèle à cette sécante. En effet, \(f\) ne vérifie pas les hypothèses du TAF car \(f\) n'est pas dérivable en \(0\in]-1,1[\).

On va maintenant parler de quelques conséquences du TAF. Comme on a mentionné, ce résultat nous aide à déduire des conséquences géométriques de la dérivée. Si on a des informations sur \(f\), on peut pendre la limite du rapport du Newton pour trouver \(f'\) et déduire des informations sur la variation de la fonction. Mais si on a des informations sur la dérivée, comment avoir de l'information sur \(f\) ? On ne peut pas ''défaire'' la limite, mais on peut justement utiliser le TAF.

On sait que pour une fonction constante, la dérivée s'annule. Le TAF nous permet de montrer que l'implication inverse est vraie aussi.

Preuve:

Pour n'importe quels \(a,b \in I\) avec \(a\lt b\), il existe \(x_0\in ]a,b[\) tel que \(f'(x_0)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\) par le TAF. Or \(f'(x_0)=0\), donc \(\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=0\) et alors \(f(b)=f(a)\). Comme ceci est vrai pour n'importe quels \(a,b\in I\), \(f\) prend donc la même valeur partout sur \(I\), donc \(f(x)=c\) pour une certaine constante \(c\in\mathbb{R}\).

Preuve:

On montre la première équivalence, la deuxième est laissée en exercice.

Supposons d'abord que \(f\) est croissante sur \(I\). Prenons \(x_0\in I\) et \(h\gt 0\) tel que \(x_0+h\in I\). Alors on a \(f(x_0+h)\geqslant f(x_0)\), et donc \(\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}\geqslant 0\), d'où \[f'_+(x_0)=\lim_{h\to 0^+}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}\geqslant 0.\] Mais puisque \(f\) est dérivable en \(x_0\), \(f'(x_0)=f'_+(x_0)\), et donc on a \(f'(x_0)\geqslant 0\).

Supposons maintenant que \(f'(x)\geqslant 0\) pour tout \(x\in I\). Soient \(a,b\in I\) tels que \(a\lt b\). Par le TAF appliqué à l'intervalle \([a,b]\), il existe \(c\in ]a,b[\) tel ue \[\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f'(c)\geqslant 0.\] Puisque \(b-a\gt 0\), on a donc que \(f(b)-f(a)\geqslant 0\), d'où \(f(a)\leqslant f(b)\).

Par contre, une fonction strictement croissante ou strictement décroissante peut avoir une dérivée nulle, par exemple \(f(x)=x^3\) en \(0\).

Preuve:

La fonction \(f\) est continue en \(x_0\) et dérivable sur un voisinage épointé de \(x_0\). Donc pour tout \(h\) tel que \(x_0+h\) appartient à ce voisinage, on peut appliquer le TAF sur l'intervalle \([x_0,x_0+h]\) si \(h\gt 0\), ou \([x_0+h,x_0]\) si \(h\lt 0\): \[\exists t\in ]0,1[ \ \text{ tel que } \ \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}=f'(x_0+t\cdot h).\] Lorsque \(h \to 0\), \[\lim_{h\to 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}=\lim_{h\to 0}f'(x_0+t\cdot h).\] Par hypothèse, la limite \(\lim_{x\to x_0}f'(x)\) existe. Elle est donc unique et ne dépend pas de la façon dont \(x\) tend vers \(x_0\). On a alors \[\lim_{x\to x_0}f'(x)=\lim_{h\to 0}f'(x_0+t\cdot h).\] Alors \(f'(x_0)\) existe et \[f'(x_0)=\lim_{h\to 0} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}=\lim_{h\to 0}f'(x_0+t\cdot h)=\lim_{x \to x_0} f'(x).\]

Attention: ce résultat ne dit pas que la dérivée est continue ! Il dit juste que la seule façon de ne pas être continue pour une fonction dérivée est une limite \(\lim_{x\rightarrow x_0} f'(x)\) non existante.

Ce corollaire est utile si par exemple on a une fonction qui est clairement dérivable à gauche et à droite de \(x_0\), et on voudrait montrer qu'elle l'est aussi en \(x_0\). Au lieu de calculer et comparer les dérivées à gauche et à droite, grâce à ce corollaire, on peut simplement montrer que \(\lim_{x\to x_0} f'(x)\) existe (en calculant cette limite à gauche et à droite, par exemple) et ainsi on aura que \(f'(x_0)=\lim_{x\rightarrow x_0} f'(x)\).

Exemple: Soit \(f(x)= \begin{cases} -1 & \text{ si } x\leqslant 1,\\ x^2-2x & \text{ si } x\gt 1. \end{cases}\) On peut montrer que \(f\) est dérivable en \(1\) en calculant \[\begin{aligned} &\lim_{h\to 0^-} \frac{f(1+h)-f(1)}{h}=\lim_{h\to 0^-}\frac{-1-(-1)}{h}=0,\\ &\lim_{h\to 0^+} \frac{f(1+h)-f(1)}{h}=\lim_{h\to 0^+}\frac{(1+h)^2-2(1+h)-(-1)}{h} =\lim_{h\to 0^+}\frac{h^2}{h}=0. \end{aligned}\] Mais grâce au corollaire ci-dessus, on peut simplement constater que \(f\) est continue, on a \[f'(x)= \begin{cases} 0 & \text{ si } x\lt 1,\\ 2x-2 & \text{ si } x\gt 1, \end{cases}\] et \(\lim_{x\to 1} f'(x)\) existe et vaut \(0\). On a donc que \(f'(1)=0\).

Le théorème suivant sera utilisé dans la preuve de la Règle de Bernoulli--de l'Hôpital.

5.6 Théorème des accroissements finis