Analyse B (MAN)

On a utilisé les limites pour calculer les dérivées à partir de la définition. On va voir maintenant que les dérivées peuvent nous aider à calculer les limites.

Prenons l'exemple d'une indétermination du type ''\(\frac{0}{0}\)'', \[\lim_{x\to 0} \frac{\sin(x)-x}{x^3}.\] On ne peut pas utiliser l'IPE \(\sin(x)\sim x\) ici, car ce n'est pas une expression factorisée. Pour calculer cette limite, on introduit l'outil suivant.

Théorème: [Règle de BH] Soient \(f\) et \(g\) définies sur un voisinage épointé \(V\) de \(x_0\in \mathbb{R}\), telles que \(f\) et \(g\) y sont dérivables et \(g(x), g'(x)\neq 0\) sur \(V\). Si \[\lim_{x\to x_0}f(x)=\lim_{x\to x_0}g(x)\in\{0,+\infty,-\infty\}\] et la limite \(\lim_{x\to x_0}\frac{f'(x)}{g'(x)}\) existe ou est égale à \(+\infty\) ou \(-\infty\), alors on a \[\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to x_0}\frac{f'(x)}{g'(x)}.\]

Preuve:

Montrons le cas particulier où \[\lim_{x\to x_0}f(x)=\lim_{x\to x_0}g(x)=0, \ \text{ et } \ \lim_{x\to x_0}\frac{f'(x)}{g'(x)}=L\in \mathbb{R}.\] On prolonge d'abord \(f\) et \(g\) par continuité en définissant \[ \tilde{f}(x):= \begin{cases} f(x) & \text{ si } x\neq x_0\\ 0 & \text{ si } x=x_0, \end{cases} \qquad \text{ et } \qquad \tilde{g}(x):= \begin{cases} g(x) & \text{ si } x\neq x_0\\ 0 & \text{ si } x=x_0. \end{cases} \] Ces prolongées sont continues sur un voisinage de \(x_0\).

Soit \(x\in V\) tel que \(x_0\lt x\). Alors \(\tilde{f}\) et \(\tilde{g}\) sont continues sur \([x_0,x]\) et dérivables sur \(]x_0,x[\). On peut donc appliquer le TAF généralisé sur cet intervalle. Ainsi, il existe \(t\in]x_0,x[\) tel que \[\frac{\tilde{f}'(t)}{\tilde{g}'(t)} =\frac{\tilde{f}(x)-\tilde{f}(x_0)}{\tilde{g}(x)-\tilde{g}(x_0)} =\frac{\tilde{f}(x)}{\tilde{g}(x)}.\] Lorsque \(x\to x_0^+\), on a \(t\to x_0^+\), et donc \[\lim_{x\to x_0^+}\frac{f(x)}{g(x)} =\lim_{x\to x_0^+}\frac{\tilde{f}(x)}{\tilde{g}(x)} =\lim_{x\to x_0^+}\frac{\tilde{f}'(t)}{\tilde{g}'(t)} =\lim_{t\to x_0^+}\frac{\tilde{f}'(t)}{\tilde{g}'(t)}=L.\] De manière analogue, on montre que \(\lim_{x\to x_0^-}\frac{f(x)}{g(x)}=L\). On peut donc conclure que \(\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=L\).

La Règle de BH s'applique seulement dans un cas d'indétermination du type ''\(\frac{0}{0}\)'' ou ''\(\frac{\pm\infty}{\pm\infty}\)''.

Exemples:

(''\(\frac{0}{0}\)''): \(\lim_{x\to 0} \frac{\sin(x)-x}{x^3}\)
- \(f\), \(g\) définies et dérivables sur un voisinage épointé de \(0\), par ex. \(]-1,1[\setminus\{0\}\),
- \(g(x)\neq 0\), \(g'(x)=3x^2\neq 0\) sur ce voisinage épointé.
On calcule \[\begin{aligned} \lim_{x\to 0}\frac{f'(x)}{g'(x)}&=\lim_{x\to 0}\frac{\cos(x)-1}{3x^2}\\ &=\lim_{x\to 0}\frac{-(x^2/2)}{3x^2} \ \text{ (par IPE)}\\ &=\frac{-1}{6}. \end{aligned}\] Par BH, on a donc \(\lim_{x\to 0} \frac{\sin(x)-x}{x^3}=\frac{-1}{6}\).
(''\(\frac{\infty}{\infty}\)''): \(\lim_{x\to \infty} \frac{x}{e^x}\)
- \(f\), \(g\) définies et dérivables sur \(]1,\infty[\),
- \(g(x)\neq 0\), \(g'(x)=e^x\neq 0\) sur \(]1,\infty[\).
On calcule

\(\lim_{x\to \infty}\frac{f'(x)}{g'(x)}=\lim_{x\to \infty}\frac{1}{e^x}=0,\)

Par BH, on a donc \(\lim_{x\to \infty} \frac{x}{e^x}=0\).

Généralisation: pour tout \(n\in \mathbb{N}^*\), on a \(\lim_{x\to \infty} \frac{x^n}{e^x}\).

Preuve:

Preuve par récurrence: Vérifié pour \(n=1\) ci-dessus. Si c'est vrai pour \(n\), alors on a pour \(n+1\): \[\lim_{x\to \infty}\frac{x^{n+1}}{e^x}\underbrace{=}_{\text{BH}}\lim_{x\to \infty}\frac{(n+1)x^n}{e^x}=(n+1)\cdot \underbrace{\lim_{x\to \infty}\frac{x^n}{e^x}}_{=0 \text{ par hyp.}}=0.\] On déduit que pour tout polynôme \(P(x)\), on a \(\lim_{x\to \infty} \frac{P(x)}{e^x}=0\), et que pour tout \(n\in \mathbb{N}^*\), \[\lim_{x\to \infty}\frac{(\ln(x))^n}{x}=\lim_{y\to \infty}\frac{y^n}{e^y}=0,\] en utilisant le changement de variable \(y=\ln(x)\).

Exemples: Voici quelques autres indéterminations.

(''\(0\cdot \pm\infty\)''): \(\lim_{x\to 0^+} (x\cdot \ln(x))\) \[\begin{aligned} \lim_{x\to 0^+} (x\cdot \ln(x))&=-\lim_{x\to 0^+} \frac{-\ln(x)}{1/x}\\ &=-\lim_{x\to 0^+}\frac{-1/x}{-1/x^2} \ (\text{ par BH, } \frac{\infty}{\infty}) \\ &=-\lim_{x\to 0^+}x\\ &=0. \end{aligned}\]
(''\(0^0\)''): \(\lim_{x\to 0^+} x^x\) \[\begin{aligned} \lim_{x\to 0^+} x^x&=\lim_{x\to 0^+} e^{x\ln(x)} \ \left(\text{en général},\ f(x)^{g(x)}=e^{g(x)\cdot \ln(f(x))}\right)\\ &=\exp(\lim_{x\to 0^+} (x\cdot \ln(x))) \ \ (\text{car } \exp(x) \text{ est continue})\\ &=\exp(0)=1. \end{aligned}\]
(''\(1^\infty\)''): \(\lim_{x\to \infty} \left(1+\frac{1}{x}\right)^x\) \[\begin{aligned} \lim_{x\to \infty} \left(1+\frac{1}{x}\right)^x&=\lim_{x\to \infty} \exp\left(x\cdot \ln\left(1+\frac{1}{x}\right)\right)\\ &=\exp\left(\lim_{x\to \infty} \left(x\cdot \ln\left(1+\frac{1}{x}\right)\right)\right)\\ &=\exp\left(\lim_{x\to \infty} \frac{\ln\left(1+\frac{1}{x}\right)}{1/x}\right)\\ &=\exp\left(\lim_{x\to \infty} \frac{\frac{1}{1+1/x}\cdot (-1/x^2)}{(-1/x^2)}\right)\\ &=\exp(1)=e. \end{aligned}\]

Exemples: Voici aussi quelques exemples où il ne faudrait pas utiliser la Règle de BH.

\(\lim_{x\to 0} \frac{x}{2x+1}\neq \lim_{x\to 0}\frac{1}{2}=\frac{1}{2}.\)

Ceci n'est pas une forme indéterminée, la limite du dénominateur n'est pas \(0\). On a \(\lim_{x\to 0} \frac{x}{2x+1}=0\).
\(\lim_{x\to 0}\frac{\sin(x)}{x}=1.\)

Même si BH s'applique, on connaît déjà cette limite après notre travail sur les IPE.
\(\lim_{x\to \infty}\frac{\sqrt{x+1}}{\sqrt{x-1}}=\lim_{x\to \infty}\sqrt{1+\frac{2}{x-1}}=1.\)

Ici, BH s'applique mais ne donne rien d'utile:

\(\lim_{x\to \infty}\frac{\sqrt{x+1}}{\sqrt{x-1}}=\lim_{x\to \infty}\frac{1/2\sqrt{x+1}}{1/2\sqrt{x-1}}=\lim_{x\to \infty}\frac{\sqrt{x-1}}{\sqrt{x+1}}.\)
\(\lim_{x\to \infty}\frac{x^{999}-x^{1000}}{3x^{1000}-x^{1001}}=\lim_{x\to \infty}\frac{-x^{1000}}{-x^{1001}}=0.\)

5.7 Règle de Bernoulli--de l'Hôpital