On pensera souvent à une courbe paramétrée comme à la description
de la position d'une particule en fonction du temps; on interprétera alors
\(M(t)\in \mathbb{R}^2\) comme étant la position de la particule au temps \(t\).
La position \(M(t)\) peut également se décrire à l'aide
du rayon vecteur, défini par
\[
\vec{r}(t)=\overrightarrow{OM(t)}=
\begin{pmatrix}
x(t)\\
y(t)
\end{pmatrix}
\]
L'ensemble de tous les points visités par la particule sera noté
\[
\Gamma:=\{M(t):t\in D\}\,.
\]
On appelle \(\Gamma\) le tracé de la courbe.
Exemple: La courbe paramétrée \[\begin{aligned} M : [0,2\pi] &\longrightarrow \mathbb{R}^2\\ t &\longmapsto M(t)=\left( \cos(t),\sin(t) \right) \end{aligned}\] décrit un point se déplaçant sur le cercle unité centré à l'origine.
Remarquons que deux courbes paramétrées distinctes peuvent avoir le même tracé.
Exemple: La courbe \[\begin{aligned} \widetilde{M} : [-\pi,\pi] &\longrightarrow \mathbb{R}^2\\ t &\longmapsto \widetilde{M}(t)=\left( \sin(t),\cos(t) \right) \end{aligned}\] est n'est pas la même que celle de l'exemple précédent; par exemple, \(M(0)=(0,0)\) alors que \(\widetilde{M}(0)=(0,1)\). Pourtant, son tracé est le même:
On voit sur ces deux premiers exemples qu'en général, le tracé d'une courbe paramétrée n'est pas le graphe d'une fonction (il peut y avoir une droite verticale qui intersecte le tracé plus qu'une fois).
Exemple: \[\begin{aligned} M:\mathbb{R}&\longrightarrow \mathbb{R}^2\\ t &\longmapsto M(t) =\left( t^2, t \right) \end{aligned}\]
Exemple: \[\begin{aligned} M:[0,2]&\longrightarrow \mathbb{R}^2\\ t &\longmapsto M(t) =\left( t(t-1)(t-2), t(t-\tfrac12)(t-1)(t-\tfrac32)(t-2) \right) \end{aligned}\]
L'étude des courbes paramétrées s'annonce donc plus dificile que celle des simples fonctions \(f(x)\) d'une variable.
Dernière compilation: 2024-06-03 (22:36:08)
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