On a vu dans la section précédente que le logarithme naturel \[\begin{aligned} \ln : \mathbb{R}^{*}_+ & \rightarrow \mathbb{R}\\ x&\mapsto \ln(x) \end{aligned}\] est injectif et surjectif, et donc bijectif. Par conséquent, il admet une fonction réciproque.
Le graphe de l'exponentielle s'obtient par une réflexion du graphe du \(\ln\) à travers l'axe \(x=y.\)
Puisque \(\exp\) est la réciproque de \(\ln\), on a que pour tout \(y\gt 0\), \[ \exp(x)=y \quad\Longleftrightarrow\quad x = \ln(y) \] De plus, les propriétés de base du logarithme ont des conséquences immédiates sur l'exponentielle:
La propriété fondamentale de la section précédente (le logarithme transforme des produits en sommes) a pour conséquence que l'exponentielle transforme des sommes en produits:
Théorème: \(\forall x,y\in\mathbb{R}\), \[ \exp(x+y) = \exp(x)\cdot \exp(y)\,. \]
Fixons \(x,y\in \mathbb{R}\). Comme \(\ln:\mathbb{R}_+^*\to \mathbb{R}\) est bijective, il existe des uniques \(a,b\) tels que \(x=\ln(a)\) et \(y=\ln(b)\). Par conséquent : \[\exp(x+y) = \exp(\ln(a) + \ln(b)) = \exp(\ln(a \cdot b) = ab = \exp(x) \cdot \exp(y)\,. \]
On a aussi que \[ \exp(-x) = \frac{1}{\exp(x)} \] En effet, \[ 1=\exp(0) = \exp(x-x) = \exp(x) \exp(-x)\,. \] Ensuite, on remarque que pour un entier \(n\in\mathbb{N}\), la propriété fondamentale implique \[ \exp(n) =\exp(1+1+\cdots+1) = (\exp(1))^n = e^{n}\,. \] On peut montrer que cette dernière se généralise: pour tout \(p/q\in\mathbb{Q}\), \[ \exp(p/q)=e^{p/q}\,. \] Cette généralisation suggère que la fonction exponentielle soit également notée ''\(e^x\)''. On utilisera donc, dorénavant, la notation \[ e^x:= \exp(x)\qquad \forall x\in\mathbb{R} \] On a en particulier que \[ e^{-x}=\exp(-x)=\frac{1}{\exp(x)}=\frac{1}{e^x} \]
Pour résoudre des équations/inéquations, on utilisera l'injectivité et la stricte croissance de l'exponentielle : \[\begin{aligned} u=v &\Leftrightarrow e^u = e^v \\ u\lt v &\Leftrightarrow e^u \lt e^v\\ u\leqslant v &\Leftrightarrow e^u \leqslant e^v \end{aligned}\]
Exemple: Résolvons \[ e^{3x+1} -2 e^{2x+1} - 3 e^{x+1}=0\,,\qquad x\in\mathbb{R}\,. \] Remarquons que \(D_{\text{Déf}} = \mathbb{R}\). On peut commencer par simplifier: \[\begin{aligned} e^{3x+1} -2 e^{2x+1} - 3 e^{x+1}=0 & \quad\Leftrightarrow\quad e e^{3x} - 2 e e^{2x} - 3 e e^{x} =0 \\ & \quad\Leftrightarrow\quad e^{3x} - 2 e^{2x} - 3 e^{x} =0\\ \end{aligned}\] En posant temporairement \(y=e^x\), qui est \(\gt 0\) par définition, cette dernière devient \[\begin{aligned} y^3 - 2y^2 - 3y =0 & \quad\Leftrightarrow\quad y(y^2-2y-3)=0 \\ &\quad\Leftrightarrow\quad y(y+1)(y-3)=0 \\ &\quad\Leftrightarrow\quad y\in \{-1,0,3\} \,. \end{aligned}\] Mais puisque on cherche \(y\gt 0\), on ne garde que la solution \(y=e^x=3\). Ainsi, \(S=\left\{ \ln(3) \right\}\) (et cela n'a rien à voir avec la mythologie Grecque!).
La fonction exponentielle a la particularité d'être égale à sa dérivée:
Puisque l'exponentielle est la réciproque du logarithme, on a \[ \ln(e^x) = x\qquad \forall x\in \mathbb{R}\,. \] En dérivant des deux côtés de cette équation, puisque \((\ln(x))'=\frac{1}{x}\), \[ \frac{1}{e^x}(e^x)' =1\,. \]
Il existe de nombreuses manières de définir le logarithme naturel et l'exponentielle. A partir de chaque définition, on peut définir l'autre fonction comme la réciproque de la première ou vice-versa. Chaque définition de ces fonctions sont équivalentes entre elles.
Rappelons que pour un exposant \(n\) entier, la fonction ''puissance'' est définie par \[ x^n:= \underbrace{x\cdot x\cdots x}_{n\text{ fois}} \] Nous avions ensuite étendu cette définition à des exposants rationnels, en posant \[ x^{p/q}:= \sqrt[q]{x^p}\,. \] Maintenant, les fonctions \(\ln\) et \(\exp\) permettent de généraliser la fonction ''puissance'' à des exposants réels quelconques.
Cette définition coïncide avec les deux précédentes, dans les cas où celles-ci sont valides. Par exemple, pour un \(n\) entier, \[\begin{aligned} \exp(n\ln(x)) &=\exp(\ln(x)+\cdots+\ln(x)))\\ &= \exp(\ln(x)) \cdot \exp(\ln(x))\cdots \exp(\ln(x))\\ &=x\cdot x\cdots x\\ &=x^n \end{aligned}\] On a aussi la propriété de base qui est vérifiée: pour tous \(\alpha,\beta\in\mathbb{R}\), et pour tout \(x\gt 0\), \[ x^\alpha\cdot x^\beta=x^{\alpha+\beta}\,. \] Puis, la règle de dérivation classique pour les puissances reste valable: \[ \left(x^\alpha\right)'=\alpha x^{\alpha-1}\qquad x\gt 0\,. \] En effet, \[\begin{aligned} \left(x^\alpha\right)' &=\left(\exp(\alpha\ln(x))\right)'\\ &=\exp(\alpha\ln(x))\left(\alpha\ln(x)\right)'\\ &=\exp(\alpha\ln(x))\frac{\alpha}{x}\\ &=\alpha x^{\alpha}x^{-1}\\ &=\alpha x^{\alpha-1} \end{aligned}\]
Dernière compilation: 2025-06-01 (06:48:34)
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