Exemple: Résoudre pour \(x\in\mathbb{R}\): \(\cos(x)=\frac{1}{2}\). On sait que \(\cos\left(\frac{\pi}{3}\right)=\frac{1}{2}.\) On résout donc \(\cos(x)=\cos\left(\frac{\pi}{3}\right)\) et on a deux familles de solutions: \[ x=\frac{\pi}{3} + k2\pi \quad \text{ ou }\quad x=-\frac{\pi}{3} + k2\pi, \quad k\in \mathbb{Z}\,. \] Et donc \[ S=\left\{ \pm \frac{\pi}{3} + k2\pi, k\in \mathbb{Z}\right\}\,. \]

Exemple: Résoudre pour \(x\in\mathbb{R}\) : \(\cos(2x)=\frac{1}{2}\). On pose \(y=2x\) et on commence par résoudre \(\cos(y)=\frac{1}{2}\). On trouve deux familles de solutions \[ y_1= \frac{\pi}{3} + k2\pi \quad\text{ ou }\quad y_2=- \frac{\pi}{3} + k2\pi, \quad k\in \mathbb{Z}\,. \] Chaque famille génère un point associé sur le cercle.

En repassant dans la variable \(x\), on trouve donc \[ 2x= \frac{\pi}{3} + k2\pi \quad\text{ ou }\quad 2x=- \frac{\pi}{3} + k2\pi,\quad k\in \mathbb{Z}\] et donc \[x_1=\frac{\pi}{6} + k\pi \quad\text{ ou }\quad x_2=-\frac{\pi}{6} + k\pi, \quad k\in \mathbb{Z}.\] Afin de visualiser, représentons certaines solutions sur le cercle. On peut par exemple prendre les solutions \(x_1\) et \(x_2\), pour \(k=0,1,2\). On voit que les deux familles de solutions génèrent ici 4 points associés, et non plus seulement deux. Chaque famille génère en fait un couple de points diamétralement opposés (à cause du \(k\pi\), qui représente des demi-tours supplémentaires).

Exemple: Résoudre pour \(x\in\left[0,2\pi\right]\) : \(\cos(2x)=\frac{1}{2}\). L'équation est la même qu'avant, mais la contrainte ''\(x\in\left[0,2\pi\right]\)'' impose de garder seulement les solutions appartenant à cet intervalle.

1. On résout tout d'abord le problème pour \(x\in\mathbb{R}\). Par ce qui précède, on a trouvé que \[ x_1=\frac{\pi}{6} + k\pi, \quad\text{ ou }\quad x_2=-\frac{\pi}{6} + k\pi, \quad k\in \mathbb{Z}\,.\]
2. On résout maintenant sur l'intervalle \(\displaystyle \left[0,2\pi\right]\). Il faut chercher \(k\) pour que \(x_1\) et \(x_2\) appartiennent à cet intervalle. On procède en s'aidant de la représentation : on se place en zéro et on tourne dans le sens trigonométrique jusqu'à atteindre \(2\pi\) et on capture au passage tous les angles qui nous intéressent.
   
   On peut donc choisir \(x_1\) avec \(k=0,1\) et \(x_2\) avec \(k=1,2\). Pour les autres \(k\), on sort de l'intervalle \([0,2\pi]\).

On conclut donc que \(S=\left\{\frac{\pi}{6},\frac{5\pi}{6},\frac{7\pi}{6},\frac{11\pi}{6}\right\}.\)

Exemple: Résoudre pour \(x\in\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]\) : \(\cos(2x)=\frac{1}{2}\). Comme avant on résout tout d'abord le problème pour \(x\in\mathbb{R}\) et on trouve \[ x_1=\frac{\pi}{6} + k\pi, \quad\text{ ou }\quad x_2=-\frac{\pi}{6} + k\pi, \quad k\in \mathbb{Z}\,. \] Cette fois, on ne garde que les angles compris dans l'intervalle \(\displaystyle \left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]\). On procède par visualisation

• La solution \(x=\frac{\pi}{6}\) et la solution \(x=-\frac{\pi}{6}\) sont dans le bon intervalle (\(k=0\))
• L'intervalle \(\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]\) est l'union des quadrants \(IV\) et \(I\). Des angles dont les points associés seront dans \(II\cup III\) seront à exclure.
• L'ensemble des angles solutions de l'équation donnent 4 points associés sur le cercle. Tous les angles qui génèrent les deux points associés dans le demi-cercle de gauche sont à exclure. Par conséquent, on doit juste s'intéresser aux solutions dans le demi-cercle de droite. Comme on a déjà les deux solutions \(x=\frac{\pi}{6}\) et \(x=-\frac{\pi}{6}\) qui sont dans le bon intervalle, tous les autres angles qui envoient sur ces mêmes points seront soit strictement plus petit que \(\frac{-\pi}{2}\) soit strictement plus grand que \(\frac{\pi}{2}\).

On conclut donc que \(S=\left\{\frac{\pi}{6},-\frac{\pi}{6}\right\}.\)

Exemple: Résoudre pour \(x\in\left[-4\pi,-3\pi\right]\) : \(\cos(2x)=\frac{1}{2}\). Même exemple que le précédent mais cette fois on cherche les \(x\) dans un autre intervalle. On voit que cette fois on doit prendre des points dans le quadrant \(I\) ou \(II\). Pour s'aider, on représente les points sur un tour de cercle entre \(-2\pi\) et \(0\). On rappelle les solutions \[x_1=\frac{\pi}{6} + k\pi,\text{ ou } x_2=-\frac{\pi}{6} + k\pi, k\in \mathbb{Z}.\]

Il faut choisir le bon nombre de demi-tours/tours à faire pour être dans le bon intervalle. Ici on peut prendre \(x_1\) avec \(k=-4\) et \(x_2\) avec \(k=-3\). En effet, \(\frac{\pi}{6} \in [0,\pi]\) et donc en faisant 2 tours dans le sens anti-trigonométrique (i.e \(-4\pi\)) on arrive dans l'intervalle \([-4\pi,-3\pi]\). De même, \(\frac{-\pi}{6}\in[-\pi,0]\). En faisant trois demi-tours dans le sens horaire (i.e \(-3\pi\)), on arrive dans le bon intervalle. Comme on a trouvé deux angles dans \([-4\pi,-3\pi]\) qui génèrent les deux points du demi-supérieur, on les a tous trouvé.

On prend alors comme solution \(\frac{\pi}{6} -4\pi = -\frac{23\pi}{6}\) et \(\frac{-\pi}{6}-3\pi=-\frac{19\pi}{6}\), et donc \(S=\left\{-\frac{19\pi}{6},-\frac{23\pi}{6}\right\}\).

Exemple: Résoudre pour \(x\in\mathbb{R}\) : \(\sin(x) \geqslant \frac{1}{2}\).

On cherche \(\alpha\) tel \(\sin(\alpha)=\frac{1}{2}\). On peut choisir par exemple \(\alpha=\frac{\pi}{6}\). On doit donc résoudre \[\sin(x) \geqslant \sin\left(\frac{\pi}{6}\right).\] L'erreur serait de dire que \(x\geqslant \frac{\pi}{6}\) mais attention, les fonctions trigonométriques ne sont pas monotones. Il est utile de considérer ce qui se passe sur le cercle trigonométrique. On représente dans le cercle des angles supplémentaires pour lequel le sinus vaut \(\frac{1}{2}\).

Les points situés sur la partie verte du cercle ont des ordonnées plus grandes que \(\frac{1}{2}\), donc les angles associés ont leur sinus plus grand que \(\frac{1}{2}\). On doit donc choisir \[ \frac{\pi}{6} + k2\pi \leqslant x \leqslant \frac{5\pi}{6} + k2\pi, k \in \mathbb{Z}.\] On a donc \(\displaystyle S=\bigcup_{k\in\mathbb{Z}} \left[\frac{\pi}{6} +k2 \pi,\frac{5\pi}{6}+k2\pi\right].\)

Exemple:

1. Résoudre pour \(x\in \mathbb{R}\) : \(\tan(3x)\leqslant 1\). Considérons encore une fois le cercle trigonométrique. On pose d'abord \(y=3x\) et on résout \(\tan(y)\leqslant 1\).
   
   Les angles associés aux points situés sur les portions rouges auront des tangentes inférieures à 1. On a donc \[ -\frac{\pi}{2} + k\pi < y \leqslant \frac{\pi}{4} + k\pi.\] Notez que le \(+k\pi\) permet de considérer les deux zones rouges d'un coup (l'une étant la rotation d'un demi-tour de l'autre) ainsi que tous les demi-tours supplémentaires. Notez aussi l'inégalité stricte à gauche car \(\frac{-\pi}{2}+k\pi\) n'est pas dans le domaine de définition de la tangente. On a donc finalement \[ -\frac{\pi}{6} + k\frac{\pi}{3} < x \leqslant\frac{\pi}{12} + k\frac{\pi}{3}\] et \[S=\bigcup_{k\in\mathbb{Z}} \left] -\frac{\pi}{6}+k\frac{\pi}{3},\frac{\pi}{12}+k\frac{\pi}{3} \right]\,. \] Représentons certains de ces angles (par exemple pour \(k=0,1,2,3,4,5)\)):
   
2. Résoudre pour \(x\in[0,2\pi]\) : \(\tan(3x)\leqslant 1\). On prend les solutions obtenues précédemment, et on "filtre" les intervalles pour qu'ils appartiennent tous à \([0,2\pi]\). On réfléchit géométriquement. On se place en \(0\) dans le cercle trigonométrique et on tourne jusqu'à \(2\pi\). On a donc \[S =\left[0,\frac{\pi}{12}\right] \cup \left]\frac{\pi}{6},\frac{5\pi}{12}\right]\cup \left]\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{4}\right]\cup \left]\frac{5\pi}{6},\frac{13\pi}{12}\right]\cup \left]\frac{7\pi}{6},\frac{17\pi}{12}\right]\cup \left]\frac{3\pi}{2},\frac{7\pi}{4}\right]\cup \left]\frac{11\pi}{6},2\pi\right].\] On doit faire attention au fait que l'intervalle \(\displaystyle \left]\frac{-\pi}{6},\frac{\pi}{12}\right]\) n'est pas entièrement contenu dans \([0,2\pi]\). Il faut donc "exploser" l'intervalle en prenant chaque partie dans le bon tour du cercle trigonométrique.