2.1 Calcul dans \(\mathbb{R}\)
\((\mathbb{R},+,\cdot)\) est un corps commutatif qui satisfait aux règles de calcul usuel.
Soient \(a,b,c\in\mathbb{R}\).
- \(a+b=b+a\) (\(+\) est commutative)
- \(a+(b+c)=(a+b)+c\) (\(+\) est associative)
- \(a+0=0+a=a\) (\,\(0\) est l'élément neutre pour \(+\))
- \(a+(-a)=0\) (élément opposé pour \(+\))
- \(a\cdot b=b\cdot a\) (\(\cdot\) est commutative)
- \(a\cdot(b\cdot c)=(a\cdot b)\cdot c\) (\(\cdot\) est associative)
- \(a\cdot 1=1\cdot a=a\) (\,\(1\) est l'élément neutre pour \(\cdot\))
- \(a\cdot\frac{1}{a}=1 \quad(a\neq0)\) (élément inverse pour \(\cdot\))
- \(a\cdot(b+c)=a\cdot b + a\cdot c\) (distributivité mixte)
\[\begin{aligned}
\mathbb{R}_+ &= \{ a \in\mathbb{R} \,|\, a\geqslant 0 \}\,,\\
\mathbb{R}_- &= \{ a \in\mathbb{R} \,|\, a\leqslant 0 \}\,.
\end{aligned}\]
- La somme de deux nombres positifs est un nombre positif: \(\forall a,b\in\mathbb{R}_+,\: a+b\in\mathbb{R}_+\).
- Soient \(x,y,a\in\mathbb{R}\). \(x=y \Longleftrightarrow x+a=y+a\).
- Soient \(x,y,a\in\mathbb{R}\). \(x\leqslant y \Longleftrightarrow x+a\leqslant y+a\).
- Soient \(a,b,c\in\mathbb{R}\). \(a\leqslant b \text{ et } b\leqslant c \Longrightarrow a\leqslant c\).
La réciproque est fausse.
- Soient \(x,y,a,b\in\mathbb{R}\). \(x\leqslant y \text{ et } a\leqslant b \Longrightarrow x+a\leqslant y+b\).
La réciproque est fausse.
- \(\forall\, a,b\in\mathbb{R}_+,\: ab\in\mathbb{R}_+\).
- Soient \(x,y,a\in\mathbb{R}^\ast\). \(x= y \Longleftrightarrow ax= ay\).
- Soient \(a,b\in\mathbb{R}\). \(ab=0 \Longleftrightarrow a=0 \text{ ou }b=0\).
- Soient \(x,y,a\in\mathbb{R}\). \(x\geqslant y \text{ et } a \gt 0 \Longrightarrow ax\geqslant
ay\).
- Soient \(x,y,a\in\mathbb{R}\). \(x\geqslant y \text{ et } a \lt 0 \Longrightarrow ax\leqslant
ay\). Attention au changement du sens de l'inégalité!
Illustration: si \(x\in\,[2,5]\) et si \(y\in[1,4]\), que dire de \(x-y\)?
- Un calcul faux:
$$\begin{array}{rcccl}
2 & \leqslant & x & \leqslant & 5 \\
1 & \leqslant & y & \leqslant & 4 \\ \hline
2-1=1 & \leqslant & x-y & \leqslant & 1=5-4
\end{array} $$
Pas de soustraction terme à terme!
- Un calcul juste: \(1\leqslant y\leqslant 4 \Leftrightarrow -1\geqslant -y\geqslant -4 \) (attention au changement du sens des inégalités!)
$$\begin{array}{rcccl}
2 & \leqslant & x & \leqslant & 5 \\
-4 & \leqslant & -y & \leqslant & -1 \\ \hline
2-4=-2 & \leqslant & x-y & \leqslant & 4=5-1
\end{array} $$
Ainsi \(x-y\in\,[\,-2,4\,]\).
Représentation décimale.
Un réel positif \(x\in\mathbb{R}_+\) peut toujours s'écrire sous la forme
\[
x=n+r\,, \qquad n\in\mathbb{N},r\in[\,0,1[\,.
\]
\(n\) et \(r\) sont respectivement la partie entière et la partie décimale de
\(x\). Comme \(0\leqslant r \lt 1\), il existe des \(d_k\in\{0,\ldots,9\}\),
\(k\in\mathbb{N}^\ast\) tels que
\[r
=d_1 10^{-1} + d_2 10^{-2} + \cdots
=\sum_{k=1}^\infty d_k 10^{-k}\,.\]
Les \(d_k\) sont appelées les décimales de \(x\) et on donne \(x\) sous sa représentation décimale
\[x : D(x)=n.d_1d_2\ldots\]
Pour \(x\lt 0\), on définit \(D(x)=-D(-x)\).
Exemple:
\(\frac{17}{4} = 4.25\), \(-\frac{24}{11} = -2.\overline{18}\),
\(\pi=3.14159\ldots\), \(0.\overline{9}=1\).
Théorème: Soit \(x\in\mathbb{R}\).
On a l'équivalence
\[
x\in \mathbb{Q} \Longleftrightarrow D(x)\text{ est soit finie, soit périodique.}
\]
Soient \(a\in\mathbb{R}\) et \(n\in\mathbb{N}^\ast\).
La puissance \(n\)-ième de \(a\), notée \(a^n\), est le nombre
\[
a^n = \underset{n \text{ facteurs}}{\underbrace{a\cdot a \cdot \ldots \cdot a}}\,.
\]
Exemple:
- \((-2)^3=(-2)(-2)(-2)=-8\)
- \((\frac{1}{3})^2=\frac{1}{3}\frac{1}{3}=\frac{1}{9}\)
- \(0^4=0\).
Soient \(a,b\in\mathbb{R}\), \(m,n\in\mathbb{N}^\ast\).
- \(a^m a^n = a^{m+n}\)
- \((a^m)^n = a^{mn}\)
- \((ab)^n = a^n b^n\)
Généralisation aux exposants négatifs ou nuls:
Soient \(a\in\mathbb{R}^\ast\) et \(n\in\Z\). Alors
\[a^{-n} = \frac{1}{a^n} \qquad a^0=1\,.\]
Remarque:
On adopte la convention \(0^0=1\).
Remarque:
Les propriétés 1 à 3 restent valables pour \(m,n \in \Z\).
Fonction signe
Soit \(x\in\mathbb{R}^\ast\).
Le signe de \(x\) , noté \(\mathrm{sgn}(x)\), est le nombre
\[\mathrm{sgn}(x)
\begin{cases}
+1& \text{si }x\gt 0 \\
-1& \text{si }x\lt 0\,.
\end{cases}
\]
Remarque:
La fonction signe est parfois définie en \(x=0\) par \(\mathrm{sgn}(0)=0\) .
Soient \(a,b\in\mathbb{R}^\ast\).
- \(\mathrm{sgn}(ab)= \mathrm{sgn}(a)\mathrm{sgn}(b)\) .
- \(\mathrm{sgn}\left(\frac{a}{b}\right)= \mathrm{sgn}(ab)\) .
Exemple: Etudier le signe de l'expression
\[
f(x)=\frac{2(x+1)(x-2)}{(x+2)(3-x)}\,.
\]
- \(D_\text{déf} = \mathbb{R}\setminus\{-2,3\}\)
- Tableau des signes (remarque: le facteur \(2\) est strictement positif et
ne joue pas de rôle)
\[
\begin{array}{c|ccccccccc}
x & &-2& &-1& &2& &3& \\ \hline
x+1 &-&-&-&0&+&+&+&+&+ \\
x-2 &-&-&-&-&-&0&+&+&+ \\
x+2 &-&0&+&+&+&+&+&+&+ \\
3-x &+&+&+&+&+&+&+&0&- \\ \hline
f(x) & -&\Vert&+&0&-&0&+&\Vert&-
\end{array}
\]
Ainsi
- \(f(x)\lt 0 \quad \text{si }\,x\in \;]-\infty\,,\,{-2}\,[ \;\cup\; ]\,{-1}\,,\,2\,[ \;\cup\; ]\,3\,,\,+\infty[\)
- \(f(x)=0 \quad \text{si }\,x\in \;\{{-1},2\}\)
- \(f(x)\gt 0 \quad \text{si }\,x\in \;]\,{-2}\,,\,{-1}\,[ \;\cup\; ]\,2\,,\,3\,[\,.\)
Identités algébriques
Identités remarquables.
Soient \(a,b\in\mathbb{R}\).
- \((a\pm b)^2 = a^2 \pm 2ab+a^2\)
- \((a\pm b)^3 = a^3 \pm 3a^2b+3ab^2\pm b^3\)
- \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\). Ici, \((a+b)\) est l'expression conjuguée de
\((a-b)\).
- \(a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)\). Ici, \((a^2+ab+b^2)\) est l'expression
conjuguée de \((a-b)\).
- \(a^n-b^n=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+\cdots +a^{n-k}b^{k-1} +\cdots+ab^{n-2}+b^{n-1})\)
Exemple: Amplification par l'expression conjuguée
$$\frac{1}{\sqrt{2}-1} = \frac{1}{\sqrt{2}-1}\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}+1}
=\frac{\sqrt{2}+1}{2-1}=\sqrt{2}+1\,.$$
Exemple: Amplification par l'expression conjuguée
$$\frac{1}{\sqrt[3]{x}+1} = \frac{1}{\sqrt[3]{x}+1}\frac{\sqrt[3]{x}^2-\sqrt[3]{x}+1}{\sqrt[3]{x}^2-\sqrt[3]{x}+1}
=\frac{\sqrt[3]{x^2}-\sqrt[3]{x}+1}{x+1}=\frac{\sqrt[3]{x^2}-\sqrt[3]{x}+1}{x+1} \qquad (x\neq -1)\,.$$
