Exemple: Résoudre, pour \(x\in\mathbb{R}\), par rapport à \(m\in\mathbb{R}\), l'équation \[mx=1.\] On peut résoudre cette équation pour certaines valeurs fixées de \(m\). Par exemple:

1. Si \(m=2\): \(2x=1 \Leftrightarrow x=\frac{1}{2}\Leftrightarrow S=\left\{ \frac{1}{2}\right\}.\)
2. Si \(m=3\): \(3x=1 \Leftrightarrow x=\frac{1}{3}\Leftrightarrow S=\left\{ \frac{1}{3}\right\}.\)

On constate que l'ensemble solution dépend de \(m\); il s'agit donc de déterminer, pour toute valeur de \(m\), l'ensemble des solutions. Formellement, il s'agit de trouver \[\begin{aligned} \left\{ \text{les paramètres}\right\} &\rightarrow \left\{\text{les ensembles solutions}\right\}\\ m& \mapsto S=S(m). \end{aligned}\] Trouvons donc l'ensemble solution de l'équation \(mx=1\), en fonction de \(m\). Pour commencer, remarquons que le domaine de définition de l'équation ne dépend pas de \(m\): \(D_{\text{déf}}=\mathbb{R}\). Puis, on cherche à isoler \(x\) en prenant garde à éviter la division par zéro.

• Si \(m=0\), l'équation devient \(0 \cdot x =1\) et aucun \(x\) n'est solution.
• Si \(m\neq0\), l'équation devient \(x=\frac{1}{m}\). On a obtenu une équation si simple qu'elle énonce sa propre solution. Noter que \(\frac{1}{m}\) est bien défini car \(m\neq 0\) et \(\frac{1}{m}\) appartient naturellement à \(D_{\text{déf}}\).

Résumons:

• Si \(m=0\), alors \(S=\varnothing\).
• Si \(m\in\mathbb{R}^*\), alors \(S=\left\{\frac{1}{m}\right\}\).

Exemple: Résoudre pour \(x\in\mathbb{R}\) par rapport à \(m\in\mathbb{R}\) l'équation \[(m-2)x=m-2.\] On établit d'abord le domaine de définition : \(D_{\text{déf}}=\mathbb{R}\). Puis on cherche à isoler \(x\) en prenant garde à la division par zéro. L'erreur serait de simplifier par \(m-2\) et conclure que \(x=1\) pour tout valeur de \(m\)!

• Si \(m=2\), l'équation devient \(0 \cdot x =0\) et tout \(x\) est solution.
• Si \(m\neq2 \), l'équation devient \(x=1\).

Résumons:

• Si \(m=2\), alors \(S=\mathbb{R}\).
• Si \(m\in\mathbb{R}\setminus\{2\}\), alors \(S=\{1\}\).

Exemple: Résoudre pour \(x\in\mathbb{R}\) par rapport à \(m \in \mathbb{R}\) l'inéquation \[ m(x-1) \geqslant (x-1)\,. \] Ici aussi, \(D_{déf}=\mathbb{R}\). L'erreur à ne pas faire est de diviser par \(x-1\) et d'obtenir \(m\geqslant 1\) ce qui ne veut rien dire, car \(m\) est un paramètre (que l'on peut choisir) et non pas l'inconnue du problème. De plus,

• on ne sait pas si \(x-1\) est nul (\(x\) est ce que l'on cherche),
• on ne connaît pas le signe de \(x-1\) et donc s'il faut intervertir ou non l'inégalité.

On procède en soustrayant \(x-1\) des deux côtés (ce qui ne change pas l'ensemble solution): \[ m(x-1) \geqslant (x-1) \Leftrightarrow (m-1)(x-1) \geqslant 0.\] La discussion se fait alors en fonction du coefficient \(m-1\):

• Si \(m=1\), l'équation devient \(0 \cdot (x-1)\geqslant 0\) et tous les \(x\) sont solutions.
• Si \(m\gt 1\), alors \(m-1\gt 0\) et l'équation devient \( x-1 \geqslant 0 \Leftrightarrow x \geqslant 1\),
• si \(m\lt 1\), alors \(m-1\lt 0\) et l'équation devient \(x-1 \leqslant 0 \Leftrightarrow x \leqslant 1\) .

Résumons:

• Si \(m=1\), \(S=\mathbb{R}\).
• Si \(m\gt 1\), \(S=[1,+\infty [\).
• Si \(m\lt 1\), \(S=]-\infty,1]\).

Exemple: Résoudre en \(x\in\mathbb{R}\) l'équation, \[ m^2x-m-4x=2\,, \] en fonction du paramètre \(m\in\mathbb{R}\).

On cherche à isoler \(x\) dans \((m^2-4)x=m+2\). Distinguons les valeurs possibles du coefficient devant le \(x\):

• Cas \(m^2-4\neq 0\): Dans ce cas \((m+2)(m-2)\neq 0\), qui signifie \(m\not\in\{-2,2\}\), et on peut diviser des deux côtés par \(m^2-4\): \[ (m^2-4)x=m+2 \quad\Leftrightarrow\quad x=\frac{m+2}{m^2-4}=\frac{1}{m-2}\,, \] d'où \(S=\left\{\frac{1}{m-2}\right\}\).
• Cas \(m^2-4=0\): \(m\in\{-2,2\}\), qui signifie que
  • si \(m=-2\), l'équation devient \(0x=0\) et tout \(x\) est solution, d'où \(S=\mathbb{R}\),
  • si \(m=2\), l'équation devient \(0x=4\) et aucun \(x\) n'est solution, d'où \(S=\varnothing\).

Résumons:

• Si \(m\not\in\{-2,2\}\), \(S=\left\{\frac{1}{m-2}\right\}\).
• Si \(m=-2\), \(S=\mathbb{R}\).
• Si \(m=2\), \(S=\varnothing\).

Exemple: Résoudre en \(x\in\mathbb{R}\) l'inéquation, \[ m^2x-m-4x\leqslant 2\,, \] en fonction du paramètre \(m\in\mathbb{R}\).

On cherche à isoler \(x\) dans l'inéquation \((m^2-4)x\leqslant m+2\). Discussion en fonction du coefficient devant le \(x\):

• Cas \(m^2-4=(m+2)(m-2)\gt 0\): Ceci correspond à \(m\in \,]-\infty\,,\,-2\,[ \:\cup \:]\,2\,,\,+\infty[\), pour lesquels l'équation devient \[ x\leqslant \frac{m+2}{(m+2)(m-2)}=\frac{1}{m-2}\,, \] d'où \(S=\left]-\infty\,,\,\frac{1}{m-2}\,\right]\).
• Cas \(m^2-4=0\): Deux possibilités, \(m\in\{-2,2\}\).
  • Si \(m=-2\), \(0x\leqslant 0\) et tout \(x\) est solution, d'où \(S=\mathbb{R}\).
  • Si \(m=2\), \(0x\leqslant 4\) et tout \(x\) est solution, d'où \(S=\mathbb{R}\).
• Cas \(m^2-4=(m+2)(m-2)\lt 0\): Ceci correspond à \(m\in \,]-2\,,\,2\,[\), pour lesquels l'équation devient \[ x\geqslant \frac{m+2}{(m+2)(m-2)}=\frac{1}{m-2}\,, \] d'où \(S=\left[\,\frac{1}{m-2}\,,\,+\infty\right[\).

En résumé,

• si \(m\in \,]-\infty\,,\,-2\,[ \:\cup \:]\,2\,,\,+\infty[\), \(S=\,\left]\,-\infty\,,\,\frac{1}{m-2}\,\right]\)
• si \(m\in \,]-2\,,\,2\,[\), \(S=\,\left[\,\frac{1}{m-2}\,,\,+\infty\right[\)
• si \(m\in\{-2,2\}\), \(S=\mathbb{R}\).

Exemple: Résolvons l'inéquation \[ \frac{2x+m}{x}\geqslant 1\,,\qquad D_{déf}=\mathbb{R}^* \] En soustrayant \(1\) de chaque côté et en simplifiant, celle-ci devient \[ \frac{x+m}{x}\geqslant 0\,. \] On résout une telle inégalité en établissant un tableau de signes. On voit que le numérateur (\(x\)) change de signe en \(0\), et le numérateur change de signe en \(-m\). On doit donc prendre garde à séparer les cas.

1. Si \(m\lt 0\): Dans ce cas, \(-m\gt 0\), et le tableau des signes est \[ \begin{array}{c|ccccc} x & & 0 & &-m& \\ \hline x+m & -& - &-&0 &+ \\ x & -& 0 &+&+ &+ \\ \hline \frac{x+m}{x} & +&\Vert&-&0 &+ \end{array} \] L'ensemble solution est donc \(S=]-\infty,0[\cup[-m,+\infty[\).
2. Si \(m=0\): Dans ce cas, l'inéquation est \(\frac{x}{x}\geqslant 0\), dont l'ensemble solution est \(S=\mathbb{R}^*\).
3. Si \(m\gt 0\): Dans ce cas, \(-m\lt 0\), et le tableau des signes est \[ \begin{array}{c|ccccc} x & & -m & &0 & \\ \hline x+m & -& 0 &+&+ &+ \\ x & -& - &-& 0 &+ \\ \hline \frac{x+m}{x} & +&0 &-&\Vert &+ \end{array} \] L'ensemble solution est donc \(S=]-\infty,-m]\cup]0,+\infty[\).

On a donc \[ S= \begin{cases} ]-\infty,0[\cup[-m,+\infty[&\text{ si }m<0\,,\\ \mathbb{R}^*&\text{ si }m=0\,,\\ ]-\infty,-m]\cup]0,+\infty[&\text{ si }m\gt 0\,. \end{cases} \] Sur l'animation ci-dessous, on vérifie que le graphe de la fonction \(\frac{2x+m}{x}\) est au-dessus de la droite horizontale à hauteur \(1\) sur les intervalles calculés: