2.2 Généralités sur les équations

Dans ce chapitre on commence à s'intéresser à la résolution d'équations.

Si \(f\) et \(g\) sont deux fonctions définies sur \(D_\text{déf} \subset \mathbb{R}\), on pourra considérer l'équation \[f(x)=g(x)\,,\] ou l'inéquation stricte \[f(x)\lt g(x)\,, \] ou l'inéquation large \[ f(x)\leqslant g(x)\,. \] Résoudre l'équation (ou l'inéquation) (en \(x\)), c'est chercher l'ensemble de toutes les valeurs de \(x\) vérifiant l'équation (ou l'inéquation); on l'appellera ensemble solution: \[ S=\{ x\in D_\text{déf} \,|\, x \text{ vérifie l'équation (ou l'inéquation)}\}\,. \]

Remarque: Dans ce cours, on ne considérera que des (in-)équations où \(f,g\) contiennent

Dans la recherche de \(S\), il s'agit de passer de la propriété qui définit les solutions à partir de l'équation de départ, \[ E : x \text{ est solution de } f(x)=g(x) \] à celle, équivalente, qui rend explicite l'ensemble solution: \[ E_{sol} : x \in S \text{ où } S \text{ est l'ensemble solution.} \] Pour ce faire, on passe par une suite d'étapes intermédiaires équivalentes, \[ E \Leftrightarrow E_1\Leftrightarrow E_2 \Leftrightarrow \dots \Leftrightarrow E_n \Leftrightarrow E_{sol}\,, \] où les \(E_i\) sont des propriétés impliquant des équations intermédiaires de plus en plus en simples.

Pour aboutir à un ensemble de solutions qui soit exactement le même que celui de l'(in-)équation de départ, chaque équivalence intermédiaire devra contenir une opération qui assure l'équivalence de l'ensemble solution. Cette opération consistera en général à appliquer une fonction \(h\) des deux côtés d'une (in-)égalité, celle de départ étant \(f(x)=g(x)\) (ou \(f(x)\lt g(x)\)). Il faudra donc, à chaque étape, s'assurer que 'ensemble des \(x\) qui vérifient l'(in-)équation est le même avant et après l'application de \(h\).

À la première étape par exemple, il faudra s'assurer

Par exemple, les équations faisant intervenir la fonction racine (voir semaine 5) sont délicates car l'élévation au carré n'est pas injective sur tout \(\mathbb{R}\) ou dans le cas d'inéquations avec des fonctions trigonométriques, ces dernières n'étant pas monotones (et pas injectives non plus).



Voici quelques exemples où il est important de respecter cette équivalence :

Exemple: Résoudre en \(x\in\mathbb{R}\), \(P(x):\, \sqrt[3]{x}\leqslant 2\).

Exemple: Résoudre en \(x\in\mathbb{R}\), \(P(x):\, x^2=64\).

Exemple: Résoudre en \(x\in\mathbb{R}\), \(P(x):\, \sqrt{x}=-4\).

Equations avec paramètres

Pour chacun des types d'(in-)équation présenté dans les chapitres suivants, on considérera des (in-)équations avec paramètres. Par exemple, pour une équation, \[ f_m(x)=g_m(x)\,, \] où \(m\) est le paramètre de l'équation. Dans ce cas, l'ensemble de définition et l'ensemble solution dépendent a priori de \(m\).

Les équations avec paramètres sont importantes pour plusieurs raisons.

  1. Dans la pratique, on cherche à déterminer des solutions en fonction de certains paramètres (par exemple en physique, trajectoire en fonction de la vitesse initiale).
  2. Parfois, on cherche à résoudre le problème inverse : quels sont les paramètres nécessaires à l'observation de telle solution particulière.
  3. Leur résolution représente un bon exercice méthodologique.

Dernière compilation: 2025-06-01 (06:48:33)

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