3.3 Propriétés de la limite

Listons les propriétés principales de la limite. La première n'a rien de surprenant:

Lemme: La limite d'une suite convergente est unique.

Supposons que \(a_n\to L\) et \(a_n\to L'\), avec \(L\neq L'\). Supposons par exemple que \(L\lt L'\). Soit \(\varepsilon\gt 0\) pris suffisamment petit, de manière à ce que \([L-\varepsilon,L+\varepsilon]\) et \([L'-\varepsilon,L'+\varepsilon]\) soient disjoints. Par exemple \(\varepsilon:= \frac{L'-L}{3}\):

Comme \(a_n\to L\), il existe \(N\) tel que \(a_n\in [L-\varepsilon,L+\varepsilon ]\) pour tout \(n\geqslant N\). Comme \(a_n\to L'\), il existe \(N'\) tel que \(a_n\in [L'-\varepsilon,L'+\varepsilon]\) pour tout \(n\geqslant N'\). Mais ceci est une contradiction puisque \([L-\varepsilon,L+\varepsilon]\) et \([L'-\varepsilon,L'+\varepsilon]\) sont disjoints.

La deuxième est que les valeurs des termes d'une suite convergente ne peuvent pas devenir trop grands:

Lemme: Si une suite converge, alors elle est bornée.

Soit \((a_n)\) une suite convergente. Il faut montrer qu'il existe \(C\geqslant 0\) tel que \(|a_n|\leqslant C\) pour tout \(n\). Or si la suite converge, disons \(a_n\to L\), on peut prendre \(\varepsilon:= 1\) et considérer l'entier \(N\) tel que \(a_n\in [L-1,L+1]\) pour tout \(n\geqslant N\).

En particulier on a, pour tout \(n\geqslant N\), \(|a_n|\leqslant |a_n-L|+|L|\leqslant |L|+1\). Soit \[ C:= \max\{|a_1|,\dots,|a_N|,|L|+1\}\,. \] On a clairement \(|a_n|\leqslant C\) pour tout \(n\leqslant N\), mais aussi \(|a_n|\leqslant |L|+1\leqslant C\) pour tout \(n\geqslant N\).

Finalement, listons quelques propriétés, qui permettent de calculer des limites à l'aide d'autres limites connues.

Lemme: (Opérations sur les limites) Soient \((a_n)\) et \((b_n)\) deux suites convergentes: \(a_n\to L_1\), \(b_n\to L_2\). Alors

  1. \(\displaystyle\lim_{n\to \infty}(a_n+b_n)=\lim_{n\to \infty} a_n+ \lim_{n\to \infty} b_n=L_1+L_2\)
  2. \(\displaystyle\lim_{n\to \infty}(a_n\cdot b_n)=(\lim_{n\to \infty} a_n)\cdot(\lim_{n\to \infty} b_n)=L_1L_2\)
  3. Si \(L_2\neq 0\), alors \(\displaystyle\lim_{n\to \infty}\frac{a_n}{b_n}=\frac{\lim_{n\to \infty} a_n}{\lim_{n\to \infty} b_n}=\frac{L_1}{L_2}\)
  4. Si \(a_n\leqslant b_n\) pour tout \(n\) suffisamment grand, alors \(L_1\leqslant L_2\).

1. Par l'inégalité triangulaire, \[\begin{aligned} |(a_n+b_n)-(L_1+L_2)|&=|(a_n-L_1)+(b_n-L_2)|\\ &\leqslant |a_n-L_1|+|b_n-L_2|\,. \end{aligned}\] Fixons un \(\varepsilon\gt 0\), et posons \(\varepsilon':= \varepsilon/2\). Comme \(a_n\to L_1\), il existe \(N_a\) tel que \(|a_n-L_1|\leqslant \varepsilon'\) pour tout \(n\geqslant N_a\). Comme \(b_n\to L_2\), il existe \(N_b\) tel que \(|b_n-L_2|\leqslant \varepsilon'\) pour tout \(n\geqslant N_b\). On a donc, pour tout \(n\geqslant N:= \max\{N_a,N_b\}\), \[ |(a_n+b_n)-(L_1+L_2)|\leqslant |a_n-L_1|+|b_n-L_2|\leqslant 2\varepsilon'=\varepsilon\,. \] 2. Comme \(a_n\) converge, elle est bornée: il existe \(C\gt 0\) telle que \(|a_n|\leqslant C\) pour tout \(n\). On peut donc écrire \[\begin{aligned} |a_nb_n-L_1L_2|&=|a_nb_n-a_nL_2+a_nL_2-L_1L_2|\\ &\leqslant |a_n||b_n-L_2|+|L_2||a_n-L_1|\\ &\leqslant C|b_n-L_2|+|L_2||a_n-L_1|\,. \end{aligned}\] Soit \(\varepsilon\gt 0\). Soit \(N_a\) tel que \(|a_n-L_1|\leqslant \frac{\varepsilon}{2|L_2|}\) pour tout \(n\geqslant N_a\) (serait dommage que \(L_2=0\)!), et soit \(N_b\) tel que \(|b_n-L_2|\leqslant \frac{\varepsilon}{2C}\) pour tout \(n\geqslant N_b\). On a alors que pour tout \(n\geqslant N:= \max\{N_a,N_b\}\), \[\begin{aligned} |a_nb_n-L_1L_2|&\leqslant C|b_n-L_2|+|L_2||a_n-L_1|\\ &\leqslant C\frac{\varepsilon}{2C}+|L_2|\frac{\varepsilon}{2|L_2|}=\varepsilon\,. \end{aligned}\] Les propriétés 3. et 4. sont laissées en exercice.

Remarque: Dans la dernière propriété, les ''\(\leqslant\)'' ne peuvent pas être remplacés par des ''\(\lt\)''! En effet, on peut très bien avoir deux suites convergentes telles que \(a_n\lt b_n\) pour tout \(n\) suffisamment grand, mais telles que \(\lim_{n\to \infty} a_b=\lim_{n\to \infty} b_n\). Comme exemple simple, on peut considérer les suites définies par \(a_n=-\frac1n\), \(b_n=\frac1n\).

Quiz 3.3-1 : Vrai ou faux?
  1. () Si \(a_n+b_n\to L_1+L_2\), alors \(a_n\to L_1\) et \(b_n\to L_2\).
  2. () Si \(a_nb_n\) converge, alors \(a_n\) et \(b_n\) convergent toutes les deux.
  3. () Si \(\frac{a_n}{b_n}\to L\), alors \(b_n\) ne tend pas vers zéro.
  4. () Si \(a_n\lt b_n\) pour tout \(n\) suffisamment grand, et si \(a_n\to L_1\), \(b_n\to L_2\), alors \(L_1\lt L_2\).
  5. () Si \(a_n\leqslant b_n\) pour une infinité d'indices \(n\), et si \(a_n\to L_1\), \(b_n\to L_2\), alors \(L_1\leqslant L_2\).




---- (Dernière modification: 2022-10-31 (07:27:50)) ----