Exemple: Considérons \(G=]0,1[\). Si on fixe un \(x\in G\) quelconque, alors en prenant un nombre \(\varepsilon\gt 0\) qui est à la fois plus petit que \(|x|\) (distance de \(x\) à l'extrémité gauche de l'intervalle) et que \(|x-1|\) (distance de \(x\) à l'extrémité droite de l'intervalle), alors l'intervalle \(]x-\varepsilon,x+\varepsilon[\) est entièrement contenu dans \(G\). Clairement, le choix du \(\varepsilon\) dépend de où se trouve \(x\): plus \(x\) est proche du bord, plus \(\varepsilon\) doit être pris petit. L'essentiel est que pour tout \(x\in G\), on trouve toujours un \(\varepsilon\gt 0\) tel que \(]x-\varepsilon,x+\varepsilon[\subset G\). (Sur cette animation, on a épaissi un peu pour y voir quelque chose.)

Exemple: Considérons \(G=[a,b]\). On comprend que cet ensemble n'est pas ouvert, puisque quel que soit la valeur de \(\varepsilon\gt 0\), l'intervalle \(]a-\varepsilon,a+\varepsilon[\) contient des points qui ne sont pas dans \(G\) (utilisez l'animation ci-dessus pour l'apprécier!). De plus, puisque son complémentaire est \[G^c=[a,b]^c =]-\infty,a[\cup ]b,+\infty[\,,\] qui est une union d'ouverts, \(G^c\) un ouvert. Donc \(G\) est fermé.

Exemple:

• \([a,b[\) n'est ni ouvert ni fermé.
• Un ensemble contenant un seul point, \(\{x\}\), est fermé. En effet, son complémentaire est \(\{x\}^c=]-\infty,x[\cup]x,+\infty[\), qui est ouvert.
• \(\mathbb{Z}\) est fermé, puisque son complémentaire, \[\mathbb{Z}^c=\bigcup_{n\in\mathbb{Z}}]n,n+1[\,,\] est une union d'ouverts, donc c'est un ouvert.
• \(\mathbb{Q}\) n'est pas ouvert. En effet, considérons un rationnel \(r\in\mathbb{Q}\) quelconque. On a dit plus haut que les irrationnels sont denses dans \(\mathbb{R}\), donc quel que soit \(\varepsilon\gt 0\), l'intervalle \(I=]r-\varepsilon,r+\varepsilon[\) contient toujours un irrationnel. Donc il n'existe aucun \(\varepsilon\gt 0\) tel que \(I\subset \mathbb{Q}\): \(\mathbb{Q}\) n'est pas ouvert.
  Mais le complémentaire de \(\mathbb{Q}\), à savoir l'ensemble de tous les irrationnels, n'est pas ouvert non plus. En effet, puisque les rationnels sont denses dans \(\mathbb{R}\), pour tout irrationnel \(y\), tout intervalle \(]y-\varepsilon,y+\varepsilon[\) contient un rationnel. Donc \(\mathbb{Q}\) n'est pas fermé.
• \(\{x\in \mathbb{R}\,:\,x^2\lt 2\}\) est ouvert (voir exercices)