Nous avons rappelé plus haut les notions d'intervalle ouvert/fermé, leur
différence étant principalement que le premier ne contient pas ses extrémités, le
deuxième oui.
Mais la notion d'ensemble ouvert/fermé est
plus générale, et s'applique à d'autres sous-ensembles de la droite plus généraux.
Notons qu'un intervalle ouvert (au sens des sections précédentes) est effectivement ouvert au sens de la définition qui précède.
Exemple: Considérons \(G=]0,1[\). Si on fixe un \(x\in G\) quelconque, alors en prenant un nombre \(\varepsilon\gt 0\) qui est à la fois plus petit que \(|x|\) (distance de \(x\) à l'extrémité gauche de l'intervalle) et que \(|x-1|\) (distance de \(x\) à l'extrémité droite de l'intervalle), alors l'intervalle \(]x-\varepsilon,x+\varepsilon[\) est entièrement contenu dans \(G\). Clairement, le choix du \(\varepsilon\) dépend de où se trouve \(x\): plus \(x\) est proche du bord, plus \(\varepsilon\) doit être pris petit. L'essentiel est que pour tout \(x\in G\), on trouve toujours un \(\varepsilon\gt 0\) tel que \(]x-\varepsilon,x+\varepsilon[\subset G\). (Sur cette animation, on a épaissi un peu pour y voir quelque chose.)
De la même façon, on montre que les intervalles de la forme \(]-\infty,a[\) et \(]b,+\infty[\) sont ouverts.Exemple: Considérons \(G=[a,b]\). On comprend que cet ensemble n'est pas ouvert, puisque quel que soit la valeur de \(\varepsilon\gt 0\), l'intervalle \(]a-\varepsilon,a+\varepsilon[\) contient des points qui ne sont pas dans \(G\) (utilisez l'animation ci-dessus pour l'apprécier!). De plus, puisque son complémentaire est \[G^c=[a,b]^c =]-\infty,a[\cup ]b,+\infty[\,,\] qui est une union d'ouverts, \(G^c\) un ouvert. Donc \(G\) est fermé.
Exemple: