1.9 Ensembles ouverts et fermés

Nous avons rappelé plus haut les notions d'intervalle ouvert/fermé, leur différence étant principalement que le premier ne contient pas ses extrémités, le deuxième oui.

Mais la notion d'ensemble ouvert/fermé est plus générale, et s'applique à d'autres sous-ensembles de la droite plus généraux.

Soit \(G\subset \mathbb{R}\).
  1. \(G\) est ouvert si pour tout \(x\in G\) il existe un \(\varepsilon\gt 0\) (qui peut dépendre de \(x\)) tel que \(x'\in G\) pour tout \(x'\in ]x-\varepsilon,x+\varepsilon[\).
  2. \(G\) est fermé si son complémentaire \(G^c:= \mathbb{R}\setminus G\) est ouvert.

Notons qu'un intervalle ouvert (au sens des sections précédentes) est effectivement ouvert au sens de la définition qui précède.

Exemple: Considérons \(G=]0,1[\). Si on fixe un \(x\in G\) quelconque, alors en prenant un nombre \(\varepsilon\gt 0\) qui est à la fois plus petit que \(|x|\) (distance de \(x\) à l'extrémité gauche de l'intervalle) et que \(|x-1|\) (distance de \(x\) à l'extrémité droite de l'intervalle), alors l'intervalle \(]x-\varepsilon,x+\varepsilon[\) est entièrement contenu dans \(G\). Clairement, le choix du \(\varepsilon\) dépend de où se trouve \(x\): plus \(x\) est proche du bord, plus \(\varepsilon\) doit être pris petit. L'essentiel est que pour tout \(x\in G\), on trouve toujours un \(\varepsilon\gt 0\) tel que \(]x-\varepsilon,x+\varepsilon[\subset G\). (Sur cette animation, on a épaissi un peu pour y voir quelque chose.)

De la même façon, on montre que les intervalles de la forme \(]-\infty,a[\) et \(]b,+\infty[\) sont ouverts.

Si un ensemble \(G\subset\mathbb{R}\) est une union d'ensembles ouvert, alors il est ouvert.

Exemple: Considérons \(G=[a,b]\). On comprend que cet ensemble n'est pas ouvert, puisque quel que soit la valeur de \(\varepsilon\gt 0\), l'intervalle \(]a-\varepsilon,a+\varepsilon[\) contient des points qui ne sont pas dans \(G\) (utilisez l'animation ci-dessus pour l'apprécier!). De plus, puisque son complémentaire est \[G^c=[a,b]^c =]-\infty,a[\cup ]b,+\infty[\,,\] qui est une union d'ouverts, \(G^c\) un ouvert. Donc \(G\) est fermé.

Exemple:

Quiz 1.9-1 : Si \(A\subset \mathbb{R}\) n'est pas ouvert, alors
  1. il est fermé.
  2. son complémentaire est ouvert.
  3. il existe au moins un \(x\in A\) tel que \(]x-\varepsilon,x+\varepsilon[\not\subset A\) pour tout \(\varepsilon>0\).
  4. pour tout \(x\in A\), il n'existe aucun \(\varepsilon>0\) tel que \(]x-\varepsilon,x+\varepsilon[\subset A\).
  5. son complémentaire n'est pas ouvert non plus.
Quiz 1.9-2 : Soit \(A\subset \mathbb{R}\) un ensemble ouvert. Vrai ou faux?
  1. \(A\) est borné.
  2. Si \(x\in A\), \(y\in A\), et si \(x\lt z\lt y\), alors \(z\in A\).
  3. Pour tout \(x\in A\), il existe \(\varepsilon\gt 0\) tel que \(]x-2\varepsilon,x+2\varepsilon[\subset A\).
  4. Il existe \(\varepsilon\gt 0\) tel que pour tout \(x\in A\), \(]x-\varepsilon,x+\varepsilon[\subset A\).
  5. Si \(B\subset A\) est aussi un ensemble ouvert, alors \(A\setminus B\) est un ouvert.
  6. ⚡ Il existe une famille d'intervalles ouverts \(I_1,I_2,I_3,\dots\) telle que \[A=I_1\cup I_2\cup I_3\cup\cdots\]