Analyse 1 | S. Friedli (EPFL)

1.9 Ensembles ouverts et fermés

La notion de ''ouvert/fermé'', introduite précédemment pour les intervalles, est en fait une notion plus générale, et s'applique à d'autres sous-ensembles de \(\mathbb{R}\):

Soit \(G\subset \mathbb{R}\).

\(G\) est ouvert si pour tout \(x\in G\) il existe un \(\varepsilon\gt 0\) tel que \[ ]x-\varepsilon,x+\varepsilon[\subset G\,, \] c.-à-d. tel que \(x'\in G\) pour tout \(x'\in ]x-\varepsilon,x+\varepsilon[\).
\(G\) est fermé si son complémentaire (c.-à-d. \(G^c:= \mathbb{R}\setminus G\)) est ouvert.

Un intervalle ouvert (au sens des sections précédentes) est effectivement ouvert au sens de la définition qui précède:

Exemple: Considérons \(G=]0,1[\). Si on fixe un \(x\in G\) quelconque, alors en prenant un nombre \(\varepsilon\gt 0\) qui est à la fois plus petit que \(|x|\) (distance de \(x\) à l'extrémité gauche de l'intervalle) et que \(|x-1|\) (distance de \(x\) à l'extrémité droite de l'intervalle), alors l'intervalle \(]x-\varepsilon,x+\varepsilon[\) est entièrement contenu dans \(G\). Clairement, le choix du \(\varepsilon\) dépend de où se trouve \(x\): plus \(x\) est proche du bord, plus \(\varepsilon\) doit être pris petit. L'essentiel est que pour tout \(x\in G\), on trouve toujours un \(\varepsilon\gt 0\) tel que \(]x-\varepsilon,x+\varepsilon[\subset G\). (Sur l'animation ci-dessous, on a épaissi un peu pour y voir quelque chose.)

De la même façon, on montre que les intervalles de la forme \(]-\infty,a[\) et \(]b,+\infty[\) sont ouverts.

Exemple: \(G=\{x\in \mathbb{R}\,:\,x^2\lt 2\}\) est ouvert (voir exercices)

Si un ensemble \(G\subset\mathbb{R}\) est une union d'ensembles ouverts, alors il est ouvert.

Preuve:

On donne la preuve dans le cas où \(G\) est une union finie d'ouverts \(G_k\): \[ G=G_1\cup G_2 \cup G_3\cup\cdots \cup G_n\,. \] Si \(x\in G\), alors il existe au moins un indice \(k\) tel \(x\in G_k\). Mais puisque \(G_k\) est ouvert, on sait qu'il existe \(\varepsilon\gt 0\) tel que \(]x-\varepsilon,x+\varepsilon[\subset G_k\). Comme \(G_k\subset G\), ceci implique \(]x-\varepsilon,x+\varepsilon[\subset G\).

Exemple: Considérons \(G=[a,b]\). Cet ensemble n'est pas ouvert, puisque quel que soit la valeur de \(\varepsilon\gt 0\), l'intervalle \(]a-\varepsilon,a+\varepsilon[\) contient des points qui ne sont pas dans \(G\) (utilisez l'animation ci-dessus pour l'apprécier!). De plus, puisque son complémentaire est \[G^c=[a,b]^c =]-\infty,a[\cup ]b,+\infty[\,,\] qui est une union d'ouverts, \(G^c\) un ouvert. Donc \(G\) est fermé.

Exemple:

Un ensemble contenant un seul point, \(\{x\}\), est fermé. En effet, son complémentaire est \(\{x\}^c=\left]-\infty,x\right[\cup\left]x,+\infty\right[\), qui est ouvert.
\(\mathbb{Z}\) est fermé. En effet, son complémentaire est \[\mathbb{Z}^c=\bigcup_{n\in\mathbb{Z}}]n,n+1[\,,\] et donc une union d'ouverts, donc c'est un ouvert.

Il existe des ensembles qui ne sont ni ouverts, ni fermés.

Exemple: Si \(a\lt b\), alors \(I=[a,b[\) n'est ni ouvert ni fermé. En effet,

\(I\) n'est pas ouvert, car si on prend \(x=a\), alors il n'existe aucun \(\varepsilon \gt 0\) tel que \(]x-\varepsilon,x+\varepsilon[\subset I\).
\(I\) n'est pas fermé non plus, parce que son complémentaire est \(I^c=]-\infty,a[\cup[b,+\infty[\), et si on prend cette fois \(x'=b\), alors il n'existe aucun \(\varepsilon\gt 0\) tel que \(]x'-\varepsilon,x'+\varepsilon[\subset I^c\).

Exemple: \(\mathbb{Q}\) n'est ni ouvert ni fermé.

\(\mathbb{Q}\) n'est pas ouvert. En effet, fixons un \(r\in\mathbb{Q}\). On a dit plus haut que les irrationnels sont denses dans \(\mathbb{R}\), donc quel que soit \(\varepsilon\gt 0\), l'intervalle \(]r-\varepsilon,r+\varepsilon[\) contient toujours un irrationnel. Donc il n'existe aucun \(\varepsilon\gt 0\) tel que \(]r-\varepsilon,r+\varepsilon[\subset \mathbb{Q}\).
\(\mathbb{Q}\) n'est pas fermé. En effet, son complémentaire est l'ensemble de tous les irrationnels, et n'est pas ouvert non plus: puisque les rationnels sont denses dans \(\mathbb{R}\), pour tout irrationnel \(y\), un intervalle \(]y-\varepsilon,y+\varepsilon[\) contient toujours un rationnel, quel que soit \(\varepsilon\gt 0\).

Quiz 1.9-1 : Si \(A\subset \mathbb{R}\) n'est pas ouvert, alors

il est fermé.
son complémentaire est ouvert.
il existe au moins un \(x\in A\) tel que \(]x-\varepsilon,x+\varepsilon[\not\subset A\) pour tout \(\varepsilon>0\).
pour tout \(x\in A\), il n'existe aucun \(\varepsilon>0\) tel que \(]x-\varepsilon,x+\varepsilon[\subset A\).
son complémentaire n'est pas ouvert non plus.

Quiz 1.9-2 : Soit \(A\subset \mathbb{R}\) un ensemble ouvert. Vrai ou faux?

\(A\) est borné.
Si \(x\in A\), \(y\in A\), et si \(x\lt z\lt y\), alors \(z\in A\).
Pour tout \(x\in A\), il existe \(\varepsilon\gt 0\) tel que \(]x-2\varepsilon,x+2\varepsilon[\subset A\).
Il existe \(\varepsilon\gt 0\) tel que pour tout \(x\in A\), \(]x-\varepsilon,x+\varepsilon[\subset A\).
Si \(B\subset A\) est aussi un ensemble ouvert, alors \(A\setminus B\) est un ouvert.
⚡ Il existe une famille d'intervalles ouverts \(I_1,I_2,I_3,\dots\) telle que \[A=I_1\cup I_2\cup I_3\cup\cdots\]