1.8 Densité dans R\mathbb{R}

Intuitivement, même si les rationnels sont un sous-ensemble (strict) des réels, ils doivent quand-même être un peu ''partout'' sur la droite des réels, dans le sens où on doit pouvoir en trouver dans n'importe quelle région de la droite, aussi petite soit-elle. On caractérise ceci précisément à l'aide de la notion de densité.

Un sous-ensemble ERE\subset \mathbb{R} est dense dans R\mathbb{R} si pour toute paire x,yRx,y\in \mathbb{R}, x<yx\lt y, il existe un zEz\in E tel que x<z<yx\lt z\lt y.

Il est clair que R\mathbb{R} est dense dans lui-même, puisque pour toute paire x,yRx,y\in \mathbb{R}, x<yx\lt y, on peut toujours considérer le point milieu z:=x+y2z:= \frac{x+y}{2}. Donc entre deux réels quelconques distincts, il y a toujours un autre réel.

Ce qui est plus intéressant, ce sont les ensembles denses dans R\mathbb{R} qui sont des sous-ensembles stricts de R\mathbb{R}, c'est-à-dire qui sont plus petits que R\mathbb{R}.

Théorème: L'ensemble des rationnels Q\mathbb{Q} est dense dans R\mathbb{R}.

Dans la preuve de ce théorème, nous utiliserons la notion suivante.

Pour tout xRx\in \mathbb{R}, la valeur entière de xx, notée x\lfloor x\rfloor, est le plus grand entier nZn\in\mathbb{Z} tel que nxn\leqslant x.

Exemple: 54=1,13=1,2=2,π=3. \lfloor \tfrac{5}{4}\rfloor=1\,,\quad \lfloor -\tfrac{1}{3}\rfloor=-1\,,\quad \lfloor -\sqrt{2}\rfloor=-2\,,\quad \lfloor \pi\rfloor=3\,.

La définition de x\lfloor x\rfloor implique xx<x+1xR.\lfloor x\rfloor \leqslant x \lt \lfloor x \rfloor +1\,\qquad \forall x\in \mathbb{R}\,. Donc l'image qu'il faut garder en tête est la suivante:

Cette dernière peut aussi s'écrire x1<xxxR. x-1\lt \lfloor x \rfloor \leqslant x\qquad \forall x\in \mathbb{R}\,. Passons à la preuve du théorème.

Soient deux réels x<yx\lt y, et soit nn un entier suffisamment grand, tel que n>1yxn\gt \frac{1}{y-x}. On rappelle qu'un tel entier existe car N\mathbb{N} n'est pas borné. Posons maintenant r:=nx+1n. r:= \frac{\lfloor nx\rfloor+1}{n}\,. Comme c'est un quotient de deux entiers, rr est rationnel. Et puisque nx1<nxnx, nx-1\lt \lfloor nx\rfloor \leqslant nx\,, on a (nx1)+1n=x<rnx+1n=x+1n<y, \underbrace{\frac{(nx-1)+1}{n}}_{=x}\lt r\leqslant \underbrace{\frac{nx+1}{n}}_{=x+\frac1n\lt y}\,, ce qui implique x<r<yx\lt r\lt y.

La conséquence principale de ce résultat est que l'on peut approximer les réels par des rationnels, dans le sens suivant:

Soit xRx\in\mathbb{R} un réel quelconque. Alors pour tout ε>0\varepsilon\gt 0, il existe un rationnel pqQ\frac{p}{q}\in \mathbb{Q} tel que xpqε|x-\frac{p}{q}|\leqslant \varepsilon.

Posons x:=xεx':= x-\varepsilon, y=x+εy'=x+\varepsilon. Par le Théorème, il existe un rationnel pq\frac{p}{q} tel que x<pq<yx'\lt \frac{p}{q}\lt y', ce qui implique bien que εxpq+ε-\varepsilon\leqslant x-\frac{p}{q}\leqslant +\varepsilon.

En particulier, n'importe quel irrationnel peut être approximé par un rationnel, à un degré arbitraire de précision.

Exemple: Nous avons donné des approximations de π\pi dans l'introduction. Dans le langage de la présente section, ces approximations s'expriment ainsi: π2270.01π3331060.0001π103993331020.000000001\begin{aligned} \Bigl|\pi-\frac{22}{7}\Bigr|&\leqslant 0.01 \\ \Bigl|\pi-\frac{333}{106}\Bigr|&\leqslant 0.0001\\ \Bigl|\pi-\frac{103993}{33102}\Bigr|&\leqslant 0.000000001\\ \end{aligned} Donc même si π\pi est irrationnel, on sait maintenant qu'on peut fixer un ε>0\varepsilon>0 aussi petit que l'on veut, et le théorème garantit qu'il existe un rationnel pq\frac{p}{q} à distance au plus ε\varepsilon de π\pi: πpqε. \Bigl|\pi-\frac{p}{q}\Bigr|\leqslant \varepsilon\,.

Il se trouve que les irrationnels, eux aussi, permettent d'approximer n'importe quel réel:

Théorème: L'ensemble des irrationnels RQ\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q} est dense dans R\mathbb{R}.

(exercice)

On utilisera souvent les deux résultats ci-dessus, de la façon suivante: Si xRx\in \mathbb{R} est un réel quelconque, alors quel que soit ε>0\varepsilon\gt 0 (sous-entendu: aussi petit que l'on veut), il existe toujours un rationnel rQr_*\in\mathbb{Q} et un irrationnel iRQi_*\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q} tels que r]xε,x+ε[,i]xε,x+ε[. r_*\in\left]x-\varepsilon,x+\varepsilon\right[\,,\quad i_*\in\left]x-\varepsilon,x+\varepsilon\right[\,.

Quiz 1.8-1 : Vrai ou faux?
  1. Si EE est un sous-ensemble de R\mathbb{R} possédant un nombre infini d'éléments, alors il est dense.
  2. Si EE est un sous-ensemble dense de R\mathbb{R}, alors il possède un nombre infini d'éléments.
  3. R\mathbb{R} est dense dans lui-même.
  4. Si EE est un sous-ensemble dense de R\mathbb{R}, et si EEE'\subset E, alors EE' est dense dans R\mathbb{R}.
Quiz 1.8-2 : Vrai ou faux? Pour tous réels x,yx,y,
  1. x0\lfloor x\rfloor \geqslant 0
  2. x+y=x+y\lfloor x+y\rfloor = \lfloor x\rfloor+\lfloor y\rfloor
  3. λx=λx\lfloor \lambda x\rfloor=\lambda \lfloor x \rfloor pour tout λR\lambda\in\mathbb{R}
Quiz 1.8-3 : Soit xx un réel quelconque. Vrai ou faux?
  1. Pour tout entier n1n\geqslant 1, il existe un rationnel yy tel que 0<xy110n0\lt |x-y|\leqslant \frac{1}{10^n}.
  2. Pour tout entier n1n\geqslant 1, il existe un irrationnel yy tel que 0<xy110n0\lt |x-y|\leqslant \frac{1}{10^n}.
  3. Pour tout entier n1n\geqslant 1, il existe une infinité de rationnels yy tels que 0<xy110n0\lt |x-y|\leqslant \frac{1}{10^n}.
  4. Pour tout entier n1n\geqslant 1, il existe une infinité d'irrationnels yy tels que 0<xy110n0\lt |x-y|\leqslant \frac{1}{10^n}.