1.8 Densité dans R\mathbb{R}

Intuitivement, même si les rationnels sont un sous-ensemble (strict) des réels, ils doivent quand-même être un peu ''partout'' sur la droite des réels, dans le sens où on doit pouvoir en trouver dans n'importe quelle région de la droite, aussi petite soit-elle. On caractérise ceci précisément à l'aide de la notion de densité.

Un sous-ensemble E⊂RE\subset \mathbb{R} est dense dans R\mathbb{R} si pour toute paire x,y∈Rx,y\in \mathbb{R}, x<yx\lt y, il existe un z∈Ez\in E tel que x<z<yx\lt z\lt y.

Il est clair que R\mathbb{R} est dense dans lui-même, puisque pour toute paire x,y∈Rx,y\in \mathbb{R}, x<yx\lt y, on peut toujours considérer le point milieu z:=x+y2z:= \frac{x+y}{2}. Donc entre deux réels quelconques distincts, il y a toujours un autre réel.

Ce qui est plus intéressant, ce sont les ensembles denses dans R\mathbb{R} qui sont des sous-ensembles stricts de R\mathbb{R}, c'est-à-dire qui sont plus petits que R\mathbb{R}.

Théorème: L'ensemble des rationnels Q\mathbb{Q} est dense dans R\mathbb{R}.

Dans la preuve de ce théorème, nous utiliserons la notion suivante.

Pour tout x∈Rx\in \mathbb{R}, la valeur entière de xx, notée ⌊x⌋\lfloor x\rfloor, est le plus grand entier n∈Zn\in\mathbb{Z} tel que n⩽xn\leqslant x.

Exemple: ⌊54⌋=1 ,⌊−13⌋=−1 ,⌊−2⌋=−2 ,⌊π⌋=3 . \lfloor \tfrac{5}{4}\rfloor=1\,,\quad \lfloor -\tfrac{1}{3}\rfloor=-1\,,\quad \lfloor -\sqrt{2}\rfloor=-2\,,\quad \lfloor \pi\rfloor=3\,.

La définition de ⌊x⌋\lfloor x\rfloor implique ⌊x⌋⩽x<⌊x⌋+1 ∀x∈R .\lfloor x\rfloor \leqslant x \lt \lfloor x \rfloor +1\,\qquad \forall x\in \mathbb{R}\,. Donc l'image qu'il faut garder en tête est la suivante:

Cette dernière peut aussi s'écrire x−1<⌊x⌋⩽x∀x∈R . x-1\lt \lfloor x \rfloor \leqslant x\qquad \forall x\in \mathbb{R}\,. Passons à la preuve du théorème.

Soient deux réels x<yx\lt y, et soit nn un entier suffisamment grand, tel que n>1y−xn\gt \frac{1}{y-x}. On rappelle qu'un tel entier existe car N\mathbb{N} n'est pas borné. Posons maintenant r:=⌊nx⌋+1n . r:= \frac{\lfloor nx\rfloor+1}{n}\,. Comme c'est un quotient de deux entiers, rr est rationnel. Et puisque nx−1<⌊nx⌋⩽nx , nx-1\lt \lfloor nx\rfloor \leqslant nx\,, on a (nx−1)+1n⏟=x<r⩽nx+1n⏟=x+1n<y , \underbrace{\frac{(nx-1)+1}{n}}_{=x}\lt r\leqslant \underbrace{\frac{nx+1}{n}}_{=x+\frac1n\lt y}\,, ce qui implique x<r<yx\lt r\lt y.

La conséquence principale de ce résultat est que l'on peut approximer les réels par des rationnels, dans le sens suivant:

Soit x∈Rx\in\mathbb{R} un réel quelconque. Alors pour tout ε>0\varepsilon\gt 0, il existe un rationnel pq∈Q\frac{p}{q}\in \mathbb{Q} tel que ∣x−pq∣⩽ε|x-\frac{p}{q}|\leqslant \varepsilon.

Posons x′:=x−εx':= x-\varepsilon, y′=x+εy'=x+\varepsilon. Par le Théorème, il existe un rationnel pq\frac{p}{q} tel que x′<pq<y′x'\lt \frac{p}{q}\lt y', ce qui implique bien que −ε⩽x−pq⩽+ε-\varepsilon\leqslant x-\frac{p}{q}\leqslant +\varepsilon.

En particulier, n'importe quel irrationnel peut être approximé par un rationnel, à un degré arbitraire de précision.

Exemple: Nous avons donné des approximations de π\pi dans l'introduction. Dans le langage de la présente section, ces approximations s'expriment ainsi: ∣π−227∣⩽0.01∣π−333106∣⩽0.0001∣π−10399333102∣⩽0.000000001\begin{aligned} \Bigl|\pi-\frac{22}{7}\Bigr|&\leqslant 0.01 \\ \Bigl|\pi-\frac{333}{106}\Bigr|&\leqslant 0.0001\\ \Bigl|\pi-\frac{103993}{33102}\Bigr|&\leqslant 0.000000001\\ \end{aligned} Donc même si π\pi est irrationnel, on sait maintenant qu'on peut fixer un ε>0\varepsilon>0 aussi petit que l'on veut, et le théorème garantit qu'il existe un rationnel pq\frac{p}{q} à distance au plus ε\varepsilon de π\pi: ∣π−pq∣⩽ε . \Bigl|\pi-\frac{p}{q}\Bigr|\leqslant \varepsilon\,.

Il se trouve que les irrationnels, eux aussi, permettent d'approximer n'importe quel réel:

Théorème: L'ensemble des irrationnels R∖Q\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q} est dense dans R\mathbb{R}.

(exercice)

On utilisera souvent les deux résultats ci-dessus, de la façon suivante: Si x∈Rx\in \mathbb{R} est un réel quelconque, alors quel que soit ε>0\varepsilon\gt 0 (sous-entendu: aussi petit que l'on veut), il existe toujours un rationnel r∗∈Qr_*\in\mathbb{Q} et un irrationnel i∗∈R∖Qi_*\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q} tels que r∗∈]x−ε,x+ε[ ,i∗∈]x−ε,x+ε[ . r_*\in\left]x-\varepsilon,x+\varepsilon\right[\,,\quad i_*\in\left]x-\varepsilon,x+\varepsilon\right[\,.

Quiz 1.8-1 : Vrai ou faux?
  1. Si EE est un sous-ensemble de R\mathbb{R} possédant un nombre infini d'éléments, alors il est dense.
  2. Si EE est un sous-ensemble dense de R\mathbb{R}, alors il possède un nombre infini d'éléments.
  3. R\mathbb{R} est dense dans lui-même.
  4. Si EE est un sous-ensemble dense de R\mathbb{R}, et si E′⊂EE'\subset E, alors E′E' est dense dans R\mathbb{R}.
Quiz 1.8-2 : Vrai ou faux? Pour tous réels x,yx,y,
  1. ⌊x⌋⩾0\lfloor x\rfloor \geqslant 0
  2. ⌊x+y⌋=⌊x⌋+⌊y⌋\lfloor x+y\rfloor = \lfloor x\rfloor+\lfloor y\rfloor
  3. ⌊λx⌋=λ⌊x⌋\lfloor \lambda x\rfloor=\lambda \lfloor x \rfloor pour tout λ∈R\lambda\in\mathbb{R}
Quiz 1.8-3 : Soit xx un réel quelconque. Vrai ou faux?
  1. Pour tout entier n⩾1n\geqslant 1, il existe un rationnel yy tel que 0<∣x−y∣⩽110n0\lt |x-y|\leqslant \frac{1}{10^n}.
  2. Pour tout entier n⩾1n\geqslant 1, il existe un irrationnel yy tel que 0<∣x−y∣⩽110n0\lt |x-y|\leqslant \frac{1}{10^n}.
  3. Pour tout entier n⩾1n\geqslant 1, il existe une infinité de rationnels yy tels que 0<∣x−y∣⩽110n0\lt |x-y|\leqslant \frac{1}{10^n}.
  4. Pour tout entier n⩾1n\geqslant 1, il existe une infinité d'irrationnels yy tels que 0<∣x−y∣⩽110n0\lt |x-y|\leqslant \frac{1}{10^n}.

Dernière compilation: 2024-12-04 (07:30:05)

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