Analyse 1 | S. Friedli (EPFL)

12.7 Intégration: par parties

Puisque la dérivée d'un produit n'est pas le produit des dérivées, il est clair que la primitive d'un produit n'est pas non plus le produit des primitives... \[ \int f(x)g(x)\,dx\neq \Bigl(\int f(x)\,dx\Bigr) \Bigl(\int g(x)\,dx\Bigr)\,. \] Pourtant, si \(f\) (ou \(g\)) est elle-même une dérivée, on peut transformer \(\int f(x)g(x)\,dx\) en une autre primitive.

Lemme: (Formule d'intégration par parties) Soient \(f,g\) deux fonctions de classe \(C^1\) sur un intervalle. Alors \[ \int f'(x)g(x)\,dx=f(x)g(x)-\int f(x)g'(x)\,dx\,. \] En version ''intégrale définie'': \[ \int_a^b f'(x)g(x)\,dx=f(x)g(x)\Big|_a^b-\int_a^b f(x)g'(x)\,dx\,. \]

Preuve:

On part de la règle de dérivation \[(f(x)g(x))'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)\,.\] Comme les fonctions de part et d'autre du ''\(=\)'' sont continues, on peut intégrer par rapport à \(x\), \[ \underbrace{\int(f(x)g(x))'\,dx}_{=f(x)g(x)+C}=\int f'(x)g(x)\,dx+\int f(x)g'(x)\,dx\,. \]

Pour utiliser la formule d'intégration par parties dans l'intégration d'un produit, il faut choisir quelle partie joue le rôle de ''\(f'(x)\)'' (la partie que l'on doit savoir intégrer), et quelle partie joue le rôle de ''\(g(x)\)'' (la partie que l'on doit dériver). On utilisera le symbole ''\(\uparrow\)'' pour indiquer la partie qui sera intégrée, et ''\(\downarrow\)'' pour celle qui sera dérivée: \[ \int \underbrace{f'(x)}_{\uparrow}\underbrace{g(x)}_{\downarrow}\,dx=f(x)g(x)-\int f(x)g'(x)\,dx\,. \] Voyons quelques exemples.

Exemple: \[\begin{aligned} \int \underbrace{x}_{\uparrow} \underbrace{\log(x)}_{\downarrow}\,dx &=\frac{x^2}{2}\log(x)-\int \frac{x^2}{2}\cdot \frac{1}{x}\,dx\\ &=\frac{x^2}{2}\log(x)-\int \frac{x}{2}\,dx\\ &=\frac{x^2}{2}\log(x)-\frac{x^2}{4}+C \end{aligned}\]

Parfois, il peut être nécessaire d'utiliser l'intégration par parties plus d'une fois:

Exemple: \[\begin{aligned} I(x) &=\int \underbrace{e^x}_{\uparrow}\underbrace{\sin(x)}_{\downarrow}\,dx\\ &= e^x\sin(x)-\int \underbrace{e^x}_{\uparrow}\underbrace{\cos (x)}_{\downarrow}\,dx\\ &= e^x\sin(x)-\Bigl\{e^x\cos(x)-\int e^x(-\sin (x))\,dx\Bigr\}\\ &= e^x\bigl\{\sin(x)-\cos(x)\bigr\}-I(x)\,. \end{aligned}\] Donc \[ I(x)=\frac{e^x}{2}(\sin(x)-\cos(x))+C\,. \]

L'intégration par parties peut aussi être utile dans les cas où on n'a même pas deux ''parties'', simplement en écrivant que \(1=(x)'\):

Exemple: \[\begin{aligned} \int \log(x)\,dx =\int \underbrace{1}_{\uparrow}\cdot\underbrace{\log(x)}_{\downarrow}\,dx &=x\log(x)-\int x\frac{1}{x}\,dx\\ &=x\log(x)-x+C\,. \end{aligned}\]

Quiz 12.7-1 : Vrai ou faux?

\(\displaystyle \int x\sin x\,dx=-\frac{x^2}{2}\cos x-\int \cos x\,dx\)
\(\displaystyle \int x\sin x\,dx=\frac{x^2}{2}\sin x+\int x \cos x\,dx\)
\(\displaystyle \int x\sin x\,dx=\frac{x^2}{2}\sin x-\frac12 \int x^2 \cos x\,dx\)
\(\displaystyle \int x\sin x\,dx=x\cos x-\int \cos x\,dx\)
\(\displaystyle \int x\sin x\,dx=-x\cos x+\int\cos x\,dx\)
\(\displaystyle \int \arctan x\,dx=\tan(x) -\int \tan(x)\,dx\)
\(\displaystyle \int \arctan x\,dx=x\arctan x-\int \frac{x}{1+x^2}\,dx\)