Se pose maintenant la question de savoir quelles fonctions sont réellement
intégrables au sens de la définition donnée plus haut.
Commençons par un exemple simple.
Exemple: Soit \(f:[a,b]\to \mathbb{R}\) une fonction constante: \(f(x)=C\).
Théorème: Si \(f:[a,b]\to \mathbb{R}\) est continue, alors elle est intégrable.
(La preuve est omise. Elle utilise le fait suivant: Toute fonction \(f:[a,b]\to \mathbb{R}\) continue est uniformément continue.)
Par conséquent, toutes les fonctions fondamentales (polynômes, fonctions trigo, exponentielles et logarithmes) sont intégrables sur les intervalles fermés et bornés contenus dans leurs domaines.
En fait, on peut montrer qu'il suffit que \(f\) soit continue par morceaux pour être intégrable:
Ceci signifie que si une fonction n'est pas intégrable, c'est qu'elle doit être ''très discontinue''.
Exemple: Soit \(f:[0,1]\to \mathbb{R}\) définie par \[ f(x):= \begin{cases} 1&\text{ si }x\in \mathbb{Q}\cap[0,1]\,,\\ 0&\text{ si }x\in (\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q})\cap[0,1]\,. \end{cases} \] On voit facilement que \(\underline{S}_\sigma(f)=0\) et \(\overline{S}_\sigma(f)=1\), quelle que soit la subdivision \(\sigma\). Donc \(f\) n'est pas intégrable.
Voyons ensuite un résultat qui montre que l'on peut en principe calculer
l'intégrale d'une fonction continue en choisissant des suites de subdivisions.
Pour une subdivision \(\sigma=(x_0,x_1,\dots,x_n)\), on définit
\[
|\sigma|:=\max_{1\leqslant k\leqslant n}|x_k-x_{k-1}|\,.
\]
Théorème: Soit \(f:[a,b]\to \mathbb{R}\) continue, et \(\sigma^{(N)}\) une suite de subdivisions telle que, dans la limite où \(N\to \infty\), \[ |\sigma^{(N)}|\to 0 \,. \] Alors \[ \overline{S}_{\sigma^{(N)}}(f)\to \int_a^bf(x)\,dx\,, \qquad \text{ et } \underline{S}_{\sigma^{(N)}}(f)\to \int_a^bf(x)\,dx\,. \]
Dans la pratique, on utilise souvent une suite de partitions régulières, où \(\sigma^{(N)}\) contient \(N\) intervalles de longueurs égales. Voyons cela sur un exemple.
Exemple: Considérons l'aire sous la ''parabole d'Archimède'', dont l'équation est \[f(x)=1-x^2\,,\qquad x\in [-1,1]\,.\]
Les propriétés suivantes seront utilisées constamment par la suite:
La relation de Chasles est valable seulement lorsque \(a\lt c\lt b\), mais pour qu'elle reste vraie plus généralement, \[ \int_a^bf(x)\,dx + \int_b^af(x)\,dx = \int_a^af(x)\,dx=0\,, \] nous adopterons la convention suivante: \[ \boxed{ \int_b^af(x)\,dx:= -\int_a^bf(x)\,dx\,. } \]