6.4 Périodicité
Soit \(t\gt 0\); \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) est dite \(t\)-périodique si \[ f(x+t)=f(x)\qquad \forall x\in \mathbb{R}\,. \] Si il existe un \(t\gt 0\) minimal jouissant de cette propriété, on l'appelle période de \(f\), et on le note \(T\gt 0\).

Remarque: Si \(f\) est \(t\)-périodique, elle est aussi \(\pm 2t\)-périodique, \(\pm 3t\)-périodique, etc.

Exemple: \(f(x)=\sin (x)\) est périodique, de période \(T=2\pi\):

\(f(x)=\cos(x)\) est périodique, de période \(T=2\pi\).

Exemple: \(f(x)=\tan (x)\) (sur son domaine) est \(\pi\)-périodique car \[ \tan(x+\pi) =\frac{\sin(x+\pi)}{\cos(x+\pi)}=\frac{-\sin(x)}{-\cos(x)}=\tan(x)\,. \]

Exemple: Considérons une fonction constante: \(f(x)=C\). On a bien \(f(x+t)=f(x)\) pour tout \(x\) et tout \(t\gt 0\), donc \(f\) est \(t\)-périodique pour tout \(t>0\). Mais comme il n'existe pas de plus petit \(t\) strictement positif avec cette propriété, la fonction n'a pas de ''période'' à proprement parler.

Exemple: Considérons la fonction \[ f(x)= \begin{cases} 1&\text{ si }x\in \mathbb{Q}\,,\\ 0&\text{ si }x\in \mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}\,. \end{cases} \] Montrons que si \(t\in \mathbb{Q}\) est un rationnel quelconque, alors \(f\) est \(t\)-périodique. En effet, prenons un \(x\in \mathbb{R}\) quelconque. Si \(x\in \mathbb{Q}\), alors \(f(x)=1\), et comme \(x+t\in \mathbb{Q}\), on a aussi \(f(x+t)=1\). Si \(x\in \mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}\), alors \(f(x)=0\), et comme \(x+t\in\mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}\), on a aussi \(f(x+t)=0\). Dans tous les cas, \(f(x+t)=f(x)\).

Ici aussi, comme il n'existe pas de ''plus petit rationnel \(t\gt 0\)'', \(f\) n'a pas de période.

Remarquons qu'en général, la somme de deux fonctions périodiques n'est pas forcément périodique!

Exemple: \(f(x)=\sin(2\pi x)\) est périodique, de période \(T_f=1\), et \(g(x)=\sin(\sqrt{2}\pi x)\) est périodique, de période \(T_g=\sqrt{2}\). Par contre, \(f+g\) n'est pas périodique, puisque \(\sqrt{2}\) étant irrationnel, aucun multiple de \(T_g\) ne coïncidera avec un multiple de \(T_f\).

On peut garantir que \(f+g\) est aussi périodique, mais en imposant une condition particulière sur \(T_f\) et \(T_g\):

Lemme: Soit \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) périodique, de période \(T_f\), et \(g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) périodique, de période \(T_g\). Si \(\frac{T_f}{T_g}\in \mathbb{Q}\), alors \(f+g\) et \(f-g\) sont périodiques.

Si \(\frac{T_f}{T_g}\in \mathbb{Q}\), il existe deux entiers \(p,q\) tels que \(\frac{T_f}{T_g}=\frac{p}{q}\). Ceci signifie que \(qT_f=pT_g\). Ceci implique que si on définit \(\tilde{t}=q T_f\), alors pour tout \(x\), \[\begin{aligned} (f\pm g)(x+\tilde{t})=f(x+\tilde{t})\pm g(x+\tilde{t})&= f(x+q T_f)\pm g(x+q T_f)\\ &=\underbrace{f(x+q T_f)}_{=f(x)}\pm \underbrace{g(x+p T_g)}_{=g(x)}\\ &=(f\pm g)(x)\,, \end{aligned}\] ce qui implique que \(f\pm g\) est périodique.

Exemple: La fonction \(f(x)=\sin^2(x)\) a pour période \(T_f=\pi\), et \(g(x)=\cos(3x)\) a pour période \(T_g=\frac{2\pi}{3}\). Comme \[ \frac{T_f}{T_g}=\frac{3}{2}\in \mathbb{Q}\,, \] on conclut par le lemme que \(f+ g\) et \(f-g\) sont périodiques. Mais comment calculer les périodes de ces fonctions?

En cherchant le plus petit multiple commun entre les périodes de \(f\) et \(g\): \[T_{f\pm g}=\mathrm{ppmc}(T_f,T_g)=2\pi\,.\]

Quiz 6.4-1 : Soit \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\). Vrai ou faux?
  1. Si \(f(0)=f(2\pi)\), alors f est périodique.
  2. Si \(f(n)=f(n+1)\) pour tout \(n\in \mathbb{Z}\), alors \(f\) est périodique.
Quiz 6.4-2 : Soit \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) une fonction périodique. Vrai ou faux?
  1. \(f(x+2k\pi)=f(x)\) pour tout \(k\in \mathbb{Z}\).
  2. \(f\) est une combinaison linéaire finie de fonctions trigonométriques.
  3. \(f\) possède une infinité de minimas/maximas.
  4. Il existe un \(T\in \mathbb{R}^*\) tel que \(f(x+T)=f(x)\) pour tout \(x\in \mathbb{R}\).
  5. Pour toute fonction \(g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(f\circ g\) est périodique.
  6. Pour toute fonction \(g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(g\circ f\) est périodique.
  7. Si \(g\) est aussi périodique, alors \(f+g\) est périodique.

Dernière compilation: 2024-01-22 (20:49:37)

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