6.2 Monotonie

Une première propriété très particulière qu'une fonction peut posséder est celle d'être monotone.

\(I\subset \mathbb{R}\) un intervalle et soit \(f:I\to\mathbb{R}\).
  1. \(f\) est croissante sur \(I\) si \(f(x)\leqslant f(x')\) pour tout \(x,x'\in I\), \(x\lt x'\).
  2. \(f\) est strictement croissante sur \(I\) si \(f(x)\lt f(x')\) pour tout \(x,x'\in I\), \(x\lt x'\).
  3. \(f\) est décroissante sur \(I\) si \(f(x)\geqslant f(x')\) pour tout \(x,x'\in I\), \(x\lt x'\).
  4. \(f\) est strictement décroissante sur \(I\) si \(f(x)\gt f(x')\) pour tout \(x,x'\in I\), \(x\lt x'\).
Si \(f\) satisfait une de ces propriétés, elle est monotone.

Remarque: Par cette définition, une fonction qui est constante sur \(I\) (c.à-d. d qu'il existe \(C\in \mathbb{R}\) telle que \(f(x)=C\) pour tout \(x\in I\)) est à la fois croissante et décroissante sur \(I\).

Exemple: La fonction \(f(x)=x^2\) est strictement croissante sur \(\mathbb{R}_+\). En effet, si \(0\leqslant x< x'\), \[ f(x')-f(x)=x'^2-x^2=\underbrace{(x'-x)}_{\gt 0} \underbrace{(x'+x)}_{\gt 0}\gt 0\,, \] ce qui implique que \(f(x)\lt f(x')\). De même, on montre que \(f(x)=x^2\) est strictement décroissante sur \(\mathbb{R}_-\).

Variation

Étudier la variation d'une fonction, c'est trouver les intervalles sur lesquelles elle est croissante/décroissante.

L'étude de la variation d'une fonction donnée, basée uniquement sur la définition de cette fonction (comme \(x^2\) dans l'exemple ci-dessus), peut être difficile. Le calcul différentiel, que nous développerons plus loin, fournira un outil puissant permettant de faire cette analyse.

Quiz 6.2-1 : Soit \(I\subset \mathbb{R}\) un intervalle, et \(f:I\to\mathbb{R}\). Vrai ou faux?
  1. Si \(f\) n'est pas croissante, alors elle est décroissante.
  2. Si \(f\) est croissante, alors \(-f\) est décroissante.
  3. Si \(f\) est croissante, alors \(f^2\) est croissante.
  4. Si \(f\) est croissante, alors \(\lambda f\) est croissante pour tout \(\lambda\in\mathbb{R}\).
  5. Si \(f\) est croissante, et si \(g:I\to\mathbb{R}\) est croissante, alors \(f+g\) est aussi croissante.
  6. Si \(f\) est croissante, et si \(g:I\to\mathbb{R}\) est croissante, alors \(f\cdot g\) est aussi croissante.

Dernière compilation: 2023-09-10 (06:38:14)

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