6.2 Monotonie

Une première propriété très particulière qu'une fonction peut posséder est celle d'être monotone.

\(I\subset \mathbb{R}\) un intervalle et soit \(f:I\to\mathbb{R}\).
  1. \(f\) est croissante sur \(I\) si \(f(x_1)\leqslant f(x_2)\) pour tout \(x_1,x_2\in I\), \(x_1\lt x_2\).
  2. \(f\) est strictement croissante sur \(I\) si \(f(x_1)\lt f(x_2)\) pour tout \(x_1,x_2\in I\), \(x_1\lt x_2\).
  3. \(f\) est décroissante sur \(I\) si \(f(x_1)\geqslant f(x_2)\) pour tout \(x_1,x_2\in I\), \(x_1\lt x_2\).
  4. \(f\) est strictement décroissante sur \(I\) si \(f(x_1)\gt f(x_2)\) pour tout \(x_1,x_2\in I\), \(x_1\lt x_2\).
Si \(f\) satisfait une de ces propriétés, elle est monotone.

Exemple: La fonction \(f(x)=x^2\) est strictement croissante sur \(\mathbb{R}_+\). En effet, si \(0\leqslant x_1< x_2\), alors \(x_2-x_1\gt 0\), et donc \[ f(x_2)-f(x_1)=x_2^2-x_1^2=\underbrace{(x_2-x_1)}_{\gt 0} \underbrace{(x_2+x_1)}_{\gt 0}\gt 0\,, \] ce qui implique que \(f(x_1)\lt f(x_2)\). De même, on montre que \(f(x)=x^2\) est strictement décroissante sur \(\mathbb{R}_-\).

Exemple: Par notre définition, une fonction qui est constante sur \(I\) (c.à-d. qu'il existe un réel \(C\) tel que \(f(x)=C\) pour tout \(x\in I\)) est à la fois croissante et décroissante sur \(I\).

Variation

Étudier la variation d'une fonction, c'est trouver les intervalles sur lesquelles elle est croissante/décroissante.

L'étude de la variation d'une fonction donnée, basée uniquement sur la définition de cette fonction (comme \(x^2\) dans l'exemple ci-dessus), peut être difficile. Le calcul différentiel, que nous développerons plus loin, fournira un outil puissant permettant de faire cette analyse.

Quiz 6.2-1 : Soit \(I\subset \mathbb{R}\) un intervalle, et \(f:I\to\mathbb{R}\). Vrai ou faux?
  1. Si \(f\) n'est pas croissante, alors elle est décroissante.
  2. Si \(f\) est croissante, alors \(-f\) est décroissante.
  3. Si \(f\) est croissante, alors \(f^2\) est croissante.
  4. Si \(f\) est croissante, alors \(\lambda f\) est croissante pour tout \(\lambda\in\mathbb{R}\).
  5. Si \(f\) est croissante, et si \(g:I\to\mathbb{R}\) est croissante, alors \(f+g\) est aussi croissante.
  6. Si \(f\) est croissante, et si \(g:I\to\mathbb{R}\) est croissante, alors \(f\cdot g\) est aussi croissante.

Dernière compilation: 2024-01-22 (20:49:37)

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