Une première propriété très particulière qu'une fonction peut posséder est celle d'être monotone.
Remarque: Par cette définition, une fonction qui est constante sur \(I\) (c.à-d. d qu'il existe \(C\in \mathbb{R}\) telle que \(f(x)=C\) pour tout \(x\in I\)) est à la fois croissante et décroissante sur \(I\).
Exemple: La fonction \(f(x)=x^2\) est strictement croissante sur \(\mathbb{R}_+\). En effet, si \(0\leqslant x< x'\), \[ f(x')-f(x)=x'^2-x^2=\underbrace{(x'-x)}_{\gt 0} \underbrace{(x'+x)}_{\gt 0}\gt 0\,, \] ce qui implique que \(f(x)\lt f(x')\). De même, on montre que \(f(x)=x^2\) est strictement décroissante sur \(\mathbb{R}_-\).
Étudier la variation d'une fonction, c'est trouver les intervalles sur
lesquelles elle est croissante/décroissante.
L'étude de la variation d'une fonction donnée, basée uniquement sur
la définition de cette fonction (comme \(x^2\) dans l'exemple
ci-dessus), peut être difficile.
Le calcul différentiel, que nous développerons plus loin, fournira un
outil puissant permettant de faire cette analyse.