6.2 Monotonie

Une première propriété très particulière qu'une fonction peut posséder est celle d'être monotone.

I⊂RI\subset \mathbb{R} un intervalle et soit f:I→Rf:I\to\mathbb{R}.
  1. ff est croissante sur II si f(x1)⩽f(x2)f(x_1)\leqslant f(x_2) pour tout x1,x2∈Ix_1,x_2\in I, x1<x2x_1\lt x_2.
  2. ff est strictement croissante sur II si f(x1)<f(x2)f(x_1)\lt f(x_2) pour tout x1,x2∈Ix_1,x_2\in I, x1<x2x_1\lt x_2.
  3. ff est décroissante sur II si f(x1)⩾f(x2)f(x_1)\geqslant f(x_2) pour tout x1,x2∈Ix_1,x_2\in I, x1<x2x_1\lt x_2.
  4. ff est strictement décroissante sur II si f(x1)>f(x2)f(x_1)\gt f(x_2) pour tout x1,x2∈Ix_1,x_2\in I, x1<x2x_1\lt x_2.
Si ff satisfait une de ces propriétés, elle est monotone.
x1x_1
x2x_2
f(x1)f(x_1)
f(x2)f(x_2)

Exemple: La fonction f(x)=x2f(x)=x^2 est strictement croissante sur R+\mathbb{R}_+. En effet, si 0⩽x1<x20\leqslant x_1< x_2, alors x2−x1>0x_2-x_1\gt 0, et donc f(x2)−f(x1)=x22−x12=(x2−x1)⏟>0(x2+x1)⏟>0>0 , f(x_2)-f(x_1)=x_2^2-x_1^2=\underbrace{(x_2-x_1)}_{\gt 0} \underbrace{(x_2+x_1)}_{\gt 0}\gt 0\,, ce qui implique que f(x1)<f(x2)f(x_1)\lt f(x_2). De même, on montre que f(x)=x2f(x)=x^2 est strictement décroissante sur R−\mathbb{R}_-.

Exemple: Par notre définition, une fonction qui est constante sur II (c.à-d. qu'il existe un réel CC tel que f(x)=Cf(x)=C pour tout x∈Ix\in I) est à la fois croissante et décroissante sur II.

Variation

Étudier la variation d'une fonction, c'est trouver les intervalles sur lesquelles elle est croissante/décroissante.

L'étude de la variation d'une fonction donnée, basée uniquement sur la définition de cette fonction (comme x2x^2 dans l'exemple ci-dessus), peut être difficile. Le calcul différentiel, que nous développerons plus loin, fournira un outil puissant permettant de faire cette analyse.

Quiz 6.2-1 : Soit I⊂RI\subset \mathbb{R} un intervalle, et f:I→Rf:I\to\mathbb{R}. Vrai ou faux?
  1. Si ff n'est pas croissante, alors elle est décroissante.
  2. Si ff est croissante, alors −f-f est décroissante.
  3. Si ff est croissante, alors f2f^2 est croissante.
  4. Si ff est croissante, alors λf\lambda f est croissante pour tout λ∈R\lambda\in\mathbb{R}.
  5. Si ff est croissante, et si g:I→Rg:I\to\mathbb{R} est croissante, alors f+gf+g est aussi croissante.
  6. Si ff est croissante, et si g:I→Rg:I\to\mathbb{R} est croissante, alors f⋅gf\cdot g est aussi croissante.

Dernière compilation: 2024-12-04 (07:30:06)

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