Remarque:
Attention: dans la vidéo ci-dessus, préparée pour un autre cours,
on mentionne la notion de continuité, qui n'apparaîtra que dans un
chapitre ultérieur.
Dans un problème d'optimisation, il s'agit de
savoir si une fonction possède, sur son domaine,
des points où sa valeur est plus grande (ou plus petite) que partout ailleurs:
Soit \(f:D\to\mathbb{R}\). On dit que
\(f\) possède un maximum (global) si il existe \(x^*\in D\) tel que
\[ f(x)\leqslant f(x^*) \quad \forall x\in D\,. \]
On dit que le maximum de \(f\) est réalisé/atteint en \(x^*\), et on
écrit
\[ \max_{x\in D}f(x)=f(x^*)\,.
\]
\(f\) possède un minimum (global) si il existe \(x_*\in D\) tel que
\[ f(x)\geqslant f(x_*) \quad \forall x\in D\,. \]
On dit que le minimum de \(f\) est réalisé/atteint en \(x_*\), et on
écrit
\[ \min_{x\in D}f(x)=f(x_*)\,.
\]
Remarque:
On parle de maximum/minimum global parce qu'on introduira plus loin la
notion de maximum/minimum local.
Attention: le point \(x^*\) (ou \(x_*\)), s'il existe,
doit être dans le domaine de la fonction!
En général, l'existence d'un minimum et d'un maximum n'est pas garantie; elle
dépend de la fonction mais aussi de son domaine.
Exemple:
\[\begin{aligned}
f:[-1,2]&\to \mathbb{R}\\
x&\mapsto x^2
\end{aligned}\]
atteint son minimum en \(x_*=0\), et son maximum en \(x^*=2\):
Mais si on modifie un peu son domaine, par exemple
\[\begin{aligned}
f:[-1,2[&\to \mathbb{R}\\
x&\mapsto x^2,
\end{aligned}\]
alors cette fonction
atteint aussi son minimum en \(x_*=0\), mais elle ne possède pas de maximum
(maintenant, le point \(x=2\) ne fait plus partie du domaine!).
Exemple:
\[\begin{aligned}
g:\mathbb{R} &\to \mathbb{R}\,\\
x &\mapsto e^{-x^2/2}
\end{aligned}\]
atteint son maximum en \(x^*=0\):
Or quel que soit \(x\neq 0\), on peut toujours diminuer strictement la
valeur de \(e^{-x^2/2}\) en éloignant un peu \(x\) de l'origine.
Donc \(g\) n'a pas de minimum.
Plus tard
(ici),
nous reviendrons sur la recherche des minima/maxima d'une fonction.
Minorants et majorants
\(f:D\to \mathbb{R}\) est
majorée si il existe \(M\in \mathbb{R}\) telle que \(f(x)\leqslant M\)
\(\forall x\in D\). On dit dans ce cas que \(M\) majore \(f\).
minorée si il existe \(m\in \mathbb{R}\) telle que \(f(x)\geqslant m\)
\(\forall x\in D\). On dit dans ce cas que \(m\) minore \(f\).
Si \(f\) est à la fois majorée et minorée, elle est bornée.
Exemple:
La fonction
\[\begin{aligned}
f:\mathbb{R}&\to\mathbb{R}\\
x&\mapsto \frac{x^2}{x^2+1}
\end{aligned}\]
est minorée par \(m=0\) puisque
\(f(x)\geqslant 0\) pour tout \(x\in\mathbb{R}\), et majorée par \(M=1\) puisque
\[
f(x)=\frac{x^2+0}{x^2+1}<\frac{x^2+1}{x^2+1}=1\quad \forall x\in \mathbb{R}\,.
\]
Exemple:
\(f(x)=\frac{x^2}{x-1}\), définie sur \(D=\mathbb{R}\setminus \{1\}\) n'est pas
majorée. Pour le vérifier, on doit montrer que \(f\) dépasse n'importe quel
seuil en au moins un point.
En effet, choisissons un seuil, disons \(M=1000\), et
montrons que l'on peut trouver un \(x\in D\) tel que \(f(x)\geqslant 1000\). Comme
la condition \(f(x)\geqslant 1000\) est équivalente à \(x^2-1000x+1000\geqslant 0\), et
comme cette dernière a un discriminant \(\Delta\geqslant 0\),
elle possède donc au moins une
solution (différente de \(1\)).
Donc il existe au moins un \(x\in D\) tel que \(f(x)\geqslant 1000\).
Mais on peut utiliser le même argument pour une valeur quelconque de \(M\).
En effet, la condition
\(f(x)\geqslant M\) est équivalente à \(x^2-Mx+M\geqslant 0\), dont le discriminant
\(\Delta=M^2-4M\geqslant 0\) dès que \(M\geqslant 4\). Ceci montre bien que \(f\) n'est
pas majorée.
Une fois qu'une fonction est majorée (resp. minorée), on peut considérer
le plus petit (resp. plus grand) majorant (resp. minorant).
Soit \(f:D\to\mathbb{R}\).
Si \(f\) est majorée (sur \(D\)),
la borne supérieure de \(f\) sur \(D\) est son plus petit majorant:
\[ \sup_D f:= \sup_{x\in D}f(x)=\sup\{f(x)\,:\,x\in D\}=\sup(\mathrm{Im} (f))\,.\]
Si \(f\) n'est pas majorée sur \(D\), on pose \(\sup_Df:=+\infty\).
Si \(f\) est minorée sur \(D\),
la borne inférieure de \(f\) sur \(D\) est son plus grand minorant:
\[ \inf_D f=\inf_{x\in D}f(x)=\inf\{f(x)\,:\,x\in D\}
=\inf(\mathrm{Im} (f))\,.\]
Si \(f\) n'est pas minorée sur \(D\), on pose \(\inf_D f:=-\infty\).
Sur la figure ci-dessous, les nombres
\(M_1,M_2\) et \(M_3\) sont tous des majorants pour \(f\) sur son domaine \(D\).
Le nombre
\(M_3\) étant le plus petit majorant (puisque tout nombre \(M'\lt M_3\) ne
majore plus \(f\)), c'est \(\sup_D f\):
Remarque:
Si \(f:D\to \mathbb{R}\) atteint son maximum en \(x^*\),
alors
\[\sup_{x\in D}f(x)=\max_{x\in D}f(x)=f(x^*)\,.\]
Si \(f:D\to \mathbb{R}\) atteint son minimum en \(x_*\),
alors
\[\inf_{x\in D}f(x)=\min_{x\in D}f(x)=f(x_*)\,.\]
Par les propriétés des réels, une fonction bornée possède toujours une borne
supérieure et une borne inférieure! Par contre, comme on sait, elle
peut ne pas atteindre son maximum ou son minimum.
Exemple:
La fonction
\[\begin{aligned}
f:]0,3[&\to\mathbb{R} \\
x&\mapsto x^2-x
\end{aligned}\]
est majorée, car pour tout \(x\in ]0,3[\),
\[ f(x)=x^2-x\leqslant 3^2-0=9\]
En fait, dans ce cas, ce majorant \(M=9\) n'est pas le plus petit, car
\[ \sup_Df=6\,.\]
Remarquons par contre qu'il n'existe aucun \(x^*\in]0,3[ \) tel que
\(f(x^*)=6\), donc \(f\) n'a pas de maximum.
Remarquons ensuite que \(f\) est minorée car
\[ f(x)=x^2-x\geqslant 0^2-3=-3\,.\]
Ici \(f\) atteint son minimum en \(x_*=\frac12\), \(f(x_*)=-\frac{1}{4}\):
Exemple:
La fonction
\[\begin{aligned}
f:]0,1]&\to \mathbb{R}\\
x&\mapsto \frac{1}{x}
\end{aligned}\]
est minorée car pour tout \(x\in ]0,1]\),
\[ f(x)=\frac{1}{x}\geqslant \frac{1}{1}=1=m\,.
\]
Mais elle n'est pas majorée, car pour tout \(M\geqslant 1\)
il existe \(x\in ]0,1]\) tel que \(f(x)\gt M\):
(On peut par exemple prendre \(x=\frac{1}{2M}\),
pour lequel \(f(x)=2M\gt M\).)
On a donc \[\sup_{]0,1]}f=+\infty\,.\]
Par contre,
\[ \inf_{]0,1]}f=\min_{]0,1]}f=f(1)=1\,.
\]
Exemple:
Considérons encore \(g(x)=e^{-x^2/2}\), sur \(\mathbb{R}\).
On a vu que \(f\) atteint son maximum en \(x^*=0\)
\[ \sup_\mathbb{R} g=\max_\mathbb{R} g=g(0)=1\,, \]
et on a vu qu'elle n'a pas de minimum. Pourtant, elle est minorée par \(0\)
puisque \(e^{-x^2/2}\geqslant 0\) pour tout \(x\). Montrons que \(0\) est en fait la
plus grand minorant. En effet, si on prend un \(\varepsilon\gt 0\) quelconque fixé,
montrons qu'il existe au moins un réel \(x\) tel que \(0\leqslant e^{-x^2/2}\leqslant
\varepsilon\). En effet, on peut satisfaire cette condition en prenant
\(|x|>\sqrt{2|\log(\varepsilon)|}\).
On conclut que
\[ \inf_\mathbb{R} g=0\,, \]
Exemple:
La fonction
\[\begin{aligned}
h:\mathbb{R}&\to\mathbb{R}\\
x&\mapsto \arctan(x)
\end{aligned}\]
ne possède ni minimum, ni maximum:
Si \(\alpha\gt 0\) et \(\beta\in \mathbb{R}\), alors
\(\displaystyle \sup_A(\alpha f+\beta)=\alpha\bigl(\sup_A f\bigr)+\beta\)
Si \(A\subset B\subset D\), alors
\(\displaystyle \sup_Af \leqslant \sup_B f\), et
\(\displaystyle \inf_A \geqslant \inf_B f\).
Quiz 6.5-1 :
(MAN 2021)
Considérons la fonction \(f:[1,4[ \to \mathbb{R}\) définie par
\[f(x)=(2-x)^3\,.\]
Parmi les affirmations suivantes, lesquelles sont correctes?
\(f\) n'atteint ni son minimum ni son maximum
\(f\) possède un extremum en \(x_0=2\)
\(f\) atteint son maximum mais pas son minimum
\(f\) atteint son minimum mais pas son maximum
Quiz 6.5-2 :
Parmi les fonctions suivantes, lesquelles sont majorées sur l'ensemble \(D\)
donné?
\(f(x)=\frac{1}{x}\) sur \(D=[1,10]\)
\(f(x)=\frac{1}{x}\) sur \(D=[-1,0[\)
\(f(x)=\frac{x}{|x|}\) sur \(D=]-1,0[\cup]0,1[\)
\(f(x)=\frac{1}{2+x-x^2}\) sur \(D=[0,2[\)
\(f(x)=\sin(\frac{1}{2+x-x^2})\) sur \(D=[0,2[\)
\(f(x)=e^{-\frac{1}{x}}\) sur \(D=]0,\infty[\)
Quiz 6.5-3 :
Soit \(D\subset \mathbb{R}\) un ensemble non-vide, et \(f\) une fonction bornée sur
\(D\).
\(\sup_D f\) est la valeur maximale que prend \(f(x)\) sur \(D\).
Si \(\sup_D f=\inf_D f\), alors \(f\) est constante.
Si \(\inf_D f=0\), alors il existe un \(x\in D\) tel que \(f(x)=0\).
Si \(\sup_Df=1\), alors il existe un \(x\in D\) tel que \(f(x)\geqslant
\frac{\pi^{17}-e}{\pi^{17}}\).
Si \(\sup_Df=s\), alors il existe un \(x\in D\) tel que \(f(x)\geqslant s/2\).
Si \(D'\subset D\), alors \(\sup_{D'}f\leqslant \sup_D f\).
Si \(D'\subset D\), alors \(\inf_{D'}f\geqslant \inf_D f\).
Pour toute constante \(\lambda\in \mathbb{R}\), \(\sup_D(\lambda f)=\lambda
\sup_D f\)
Pour toute constante \(\lambda\in \mathbb{R}\), \(\sup_D( f+\lambda)=
(\sup_D f)+\lambda\)
