Remarque: Attention: dans la vidéo ci-dessus, préparée pour un autre cours, on mentionne la notion de continuité, qui n'apparaîtra que dans un chapitre ultérieur.
Dans un problème d'optimisation, il s'agit de savoir si une fonction possède, sur son domaine, des points où sa valeur est plus grande (ou plus petite) que partout ailleurs:
Remarque: On parle de maximum/minimum global parce qu'on introduira plus loin la notion de maximum/minimum local.
\(\bigstar\) Attention: le point \(x^*\) (ou \(x_*\)), s'il existe, doit être dans le domaine de la fonction!
En général, l'existence d'un minimum et d'un maximum n'est pas garantie; elle dépend de la fonction mais aussi de son domaine.
Exemple: \[\begin{aligned} f:[-1,2]&\to \mathbb{R}\\ x&\mapsto x^2 \end{aligned}\] atteint son minimum en \(x_*=0\), et son maximum en \(x^*=2\):
Exemple: \[\begin{aligned} g:\mathbb{R} &\to \mathbb{R}\,\\ x &\mapsto e^{-x^2/2} \end{aligned}\] atteint son maximum en \(x^*=0\):
Plus tard (ici), nous reviendrons sur la recherche des minima/maxima d'une fonction.
Exemple: La fonction \[\begin{aligned} f:\mathbb{R}&\to\mathbb{R}\\ x&\mapsto \frac{x^2}{x^2+1} \end{aligned}\] est minorée par \(m=0\) puisque \(f(x)\geqslant 0\) pour tout \(x\in\mathbb{R}\), et majorée par \(M=1\) puisque \[ f(x)=\frac{x^2+0}{x^2+1}<\frac{x^2+1}{x^2+1}=1\quad \forall x\in \mathbb{R}\,. \]
Une fois qu'une fonction est majorée (resp. minorée), on peut considérer le plus petit (resp. plus grand) majorant (resp. minorant).
Sur la figure ci-dessous, les nombres \(M_1,M_2\) et \(M_3\) sont tous des majorants pour \(f\) sur son domaine \(D\). Le nombre \(M_3\) étant le plus petit majorant (puisque tout nombre \(M'\lt M_3\) ne majore plus \(f\)), c'est \(\sup_D f\):
Remarque:
\(\bigstar\) Par les propriétés des réels, une fonction bornée possède toujours une borne supérieure et une borne inférieure! Par contre, comme on sait, elle peut ne pas atteindre son maximum ou son minimum.
Exemple: La fonction \[\begin{aligned} f:]0,3[&\to\mathbb{R} \\ x&\mapsto x^2-x \end{aligned}\] est majorée, car pour tout \(x\in ]0,3[\), \[ f(x)=x^2-x\leqslant 3^2-0=9\] En fait, dans ce cas, ce majorant \(M=9\) n'est pas le plus petit, car \[ \sup_Df=6\,.\] Remarquons par contre qu'il n'existe aucun \(x^*\in]0,3[ \) tel que \(f(x^*)=6\), donc \(f\) n'a pas de maximum. Remarquons ensuite que \(f\) est minorée car \[ f(x)=x^2-x\geqslant 0^2-3=-3\,.\] Ici \(f\) atteint son minimum en \(x_*=\frac12\), \(f(x_*)=-\frac{1}{4}\):
Exemple: La fonction \[\begin{aligned} f:]0,1]&\to \mathbb{R}\\ x&\mapsto \frac{1}{x} \end{aligned}\] est minorée car pour tout \(x\in ]0,1]\), \[ f(x)=\frac{1}{x}\geqslant \frac{1}{1}=1=m\,. \] Mais elle n'est pas majorée, car pour tout \(M\geqslant 1\) il existe \(x\in ]0,1]\) tel que \(f(x)\gt M\):
Exemple: Considérons encore \(g(x)=e^{-x^2/2}\), sur \(\mathbb{R}\).
Exemple: La fonction \[\begin{aligned} h:\mathbb{R}&\to\mathbb{R}\\ x&\mapsto \arctan(x) \end{aligned}\] ne possède ni minimum, ni maximum:
Lemme: Soit \(f:D\to \mathbb{R}\).