Analyse 1 | S. Friedli (EPFL)

7.5 Propriétés de la limite

Nous avons vu pour l'instant trois notions de limites en un point \(x_0\): \[ \lim_{x\to x_0}\,,\qquad \lim_{x\to x_0^+}\,,\qquad \lim_{x\to x_0^-}\,. \] Or ces limites obéissent à des propriétés standards qui sont semblables à celles des suites. Plutôt que de les répéter séparément pour chaque notion, nous les énonçons en une seule fois. Dans la proposition ci-dessous, ''\(\lim\)'' représente une des limites ci-dessus.

Soient \(f,g\) telles que \(\lim f\) et \(\lim g\) existent. Alors:

\(\lim(f\pm g)=\lim f\pm\lim g\)
\(\lim(f\cdot g)=(\lim f)\cdot (\lim g)\)
si \(\lim g\neq 0\), alors \(\lim\frac{f}{g}=\frac{\lim f}{\lim g}\)
si \(f(x)\leqslant g(x)\) dans un voisinage de \(x_0\), alors \(\lim f\leqslant \lim g\)

(Suivre exactement les mêmes pas que dans la preuve des mêmes propriétés pour les suites.)

Les propriétés ci-dessus permettent de calculer des limites nouvelles à partir de limites déjà connues, en évitant de devoir passer à chaque fois par la définition, ''à la \(\varepsilon\)-\(\delta\)''.

Exemple: Considérons un polynôme \[P(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots +a_nx^n=\sum_{k=0}^na_kx^k\,.\] Par les propriétés 1 et 2, \[\begin{aligned} \lim_{x\to x_0}P(x) &=\lim_{x\to x_0}\sum_{k=0}^na_kx^k\\ &=\sum_{k=0}^n\lim_{x\to x_0}a_kx^k\\ &=\sum_{k=0}^na_k\lim_{x\to x_0}x^k\\ &=\sum_{k=0}^na_kx_0^k\\ &=P(x_0) \end{aligned}\] Dans l'avant-dernière ligne, on a encore utilisé la propriété 2, pour chaque \(k\), comme suit. Puisque \(\lim_{x\to x_0}x=x_0\) on a \[\begin{aligned} \lim_{x\to x_0}x^k &= \lim_{x\to x_0}\underbrace{x\cdot x\cdot\cdots x}_{k\text{ fois}}\\ &= \underbrace{ \bigl(\lim_{x\to x_0}x\bigr) \cdot \bigl(\lim_{x\to x_0}x\bigr) \cdots \bigl(\lim_{x\to x_0}x\bigr) }_{k\text{ fois}}\\ &= \underbrace{ x_0\cdot x_0\cdots x_0 }_{k\text{ fois}} ={x_0}^k\,. \end{aligned}\]