Analyse 1 | S. Friedli (EPFL)

7.8 Limites \(x\to\pm\infty\)

Dans cette section, on étudie le comportement des fonctions loin de l'origine, en considérant des limites où \(x\to \pm\infty\).

Comme la problématique est essentiellement la même que celle introduite dans l'étude des suites \((a_n)\) et de leurs limites lorsque \(n\to \infty\), on se contentera de donner les définitions, calquées sur celles du chapitre sur les suites, et de donner quelques exemples.

Limites finies

Soit \(f\) dont le domaine contient un intervalle de la forme \(]a,+\infty[\). Alors \(\displaystyle \lim_{x\to +\infty}f(x)=L\) si pour tout \(\varepsilon >0\) il existe \(N>0\) tel que \(|f(x)-L|\leqslant \varepsilon\) dès que \(x\geqslant N\).
Soit \(f\) dont le domaine contient un intervalle de la forme \(]-\infty,b[\). Alors \(\displaystyle \lim_{x\to -\infty}f(x)=L\) si pour tout \(\varepsilon >0\) il existe \(N<0\) tel que \(|f(x)-L|\leqslant \varepsilon\) dès que \(x\leqslant N\).

On pourra utiliser sans autre toutes les propriétés listées dans la leçon sur les limites de suites, ainsi que les techniques pour étudier ces limites (extraire le terme dominant, conjugué, etc.).

Limites infinies

Soit \(f\) une fonction dont le domaine contient un intervalle de la forme \(]a,+\infty[\).
- \(\boxed{\displaystyle \lim_{x\to +\infty}f(x)=+\infty}\) si et seulement si pour tout \(M >0\) il existe \(N>0\) tel que \(f(x)\geqslant M\) dès que \(x\geqslant N\).
- \(\boxed{\displaystyle \lim_{x\to +\infty}f(x)=-\infty}\) si et seulement si pour tout \(m<0\) il existe \(N>0\) tel que \(f(x)\leqslant m\) dès que \(x\geqslant N\).
Soit \(f\) une fonction dont le domaine contient un intervalle de la forme \(]-\infty,b[\).
- \(\boxed{\displaystyle \lim_{x\to -\infty}f(x)=+\infty}\) si et seulement si pour tout \(M >0\) il existe \(N<0\) tel que \(f(x)\geqslant M\) dès que \(x\leqslant N\).
- \(\boxed{\displaystyle \lim_{x\to -\infty}f(x)=-\infty}\) si et seulement si pour tout \(m<0\) il existe \(N<0\) tel que \(f(x)\leqslant m\) dès que \(x\leqslant N\).

Exemple: Considérons le comportement des fonctions polynomiales \(f(x)=x^p\), où \(p\in \mathbb{Z}^*\). Si \(p\) est négatif, alors \[ \lim_{x\to\pm\infty}x^p=0\,.\] Par contre si \(p\) est positif, alors \[ \lim_{x\to+\infty}x^p=+\infty\,,\] et \[ \lim_{x\to-\infty}x^p= \begin{cases} +\infty&\text{ si p est pair}\,,\\ -\infty&\text{ si p est impair}\,.\\ \end{cases} \]

Exemple: Exponentielle de base \(a>0\) (\(a\neq 1\)): \[ \lim_{x\to -\infty}a^x= \begin{cases} +\infty&\text{ si }0\lt a\lt 1\,,\\ 0&\text{ si } a\gt 1\,. \end{cases} \] \[ \lim_{x\to +\infty}a^x= \begin{cases} 0&\text{ si }0\lt a\lt 1\,,\\ +\infty&\text{ si } a\gt 1\,. \end{cases} \]

Remarque: Le fait qu'ici on considère une fonction \(f\) de la variable réelle \(x\), à l'inverse des suites dont la ''variable'' est un entier \(n\), fait que certains outils nouveaux feront leur apparition, comme la règle de Bernoulli-l'Hôpital (voir chapitre sur la dérivation). Nous reviendrons par exemple sur les limites qui caractérisent la vitesse avec laquelle certaines fonctions fondamentales tendent vers l'infini, comme \[ \lim_{x\to \infty}\frac{(\log_a(x))^p}{x^\alpha}=0\,,\qquad p,\alpha>0 \,. \]