On définit ici les fonctions trigonométriques hyperboliques. Même si ces fonctions seront définies uniquement à partir de l'exponentielle, leurs propriétés rappelleront clairement celles des fonctions trigonométriques de base. En fin de section, on fera quelques commentaires sur l'origine du terme ''hyperbolique''.

• \(\cosh(x)\) est paire, que \(\cosh(x)\geqslant 1\) pour tout \(x\in\mathbb{R}\) .
• \(\sinh(x)\) et \(\tanh(x)\) sont impaires, et positives si \(x\gt 0\), négatives si \(x\lt 0\).
• On a vu ici que toute fonction peut se décomposer en une somme d'une fonction paire et d'une fonction impaire. En appliquant ce résultat à la fonction \(f(x)=e^x\), on obtient précisément \[ e^x=\cosh(x)+\sinh(x)\,. \]

On peut voir la tangente hyperbolique comme étant définie par \[ \tanh(x)=\frac{\sinh(x)}{\cosh(x)}\,. \] Un simple calcul mène à \[ \cosh(x)^2-\sinh(x)^2=1\,, \] qui entraîne \[ 1-\tanh^2(x)=\frac{1}{\cosh^2(x)}\,. \]

Puisque \(e^x\) est dérivable, les fonctions hyperboliques sont dérivables (et continues) sur \(\mathbb{R}\). De plus, \[\begin{aligned} (\sinh(x))'&=\cosh(x)\\ (\cosh(x))'&=\sinh(x)\\ (\tanh(x))'&=1-\tanh^2(x)=\frac{1}{\cosh^2(x)} \end{aligned}\] Par conséquent, \(\sinh(x)\) est strictement croissante,

\(\cosh(x)\) est décroissante sur \(]-\infty,0]\), croissante sur \([0,+\infty[\),

et \(\tanh(x)\) est strictement croissante:

En prenant \(y=x\), on a les formules \[\begin{aligned} \sinh(2x) &=2\sinh(x)\cosh(x),\\ \cosh(2x) &=2\cosh^2(x)-1=1+2\sinh^2(x)\\ \tanh(2x) &=\frac{2\tanh(x)}{1+\tanh^2(x)} \end{aligned}\]

Comme \(\sinh:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) est strictement croissante, continue, et puisque \[ \lim_{x\to-\infty}\sinh(x)=-\infty\,,\qquad \lim_{x\to+\infty}\sinh(x)=+\infty\,, \] on en déduit qu'elle est bijective.

Sa réciproque se note \[\begin{aligned} \mathrm{argsinh }:\mathbb{R}&\to\mathbb{R}\\ x&\mapsto \mathrm{argsinh }(x) \end{aligned}\] À l'aide de la formule pour la dérivée d'une fonction réciproque, \[\begin{aligned} \mathrm{argsinh }'(x) &=\frac{1}{\cosh(\mathrm{argsinh }(x))}\\ &=\frac{1}{\sinh'(\mathrm{argsinh }(x))}\\ &=\frac{1}{\sqrt{1+\sinh^2(\mathrm{argsinh }(x))}}\\ &=\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}\,. \end{aligned}\]

Ensuite, puisque \(\cosh\) est paire, on doit restreindre son domaine si on veut la rendre injective. Comme elle est strictement croissante sur \(\mathbb{R}_+\), \(\cosh:\mathbb{R}_+\to\mathbb{R}\) est injective. De plus, comme \(\cosh(0)=1\) et \[ \lim_{x\to+\infty}\cosh(x)=+\infty\,, \] on conclut que \(\cosh:\mathbb{R}_+\to[1,+\infty]\) est bijective.

Sa réciproque se note \[\begin{aligned} \mathrm{argcosh }:\left[1,+\infty\right[ &\to\mathbb{R}_+\\ x&\mapsto \mathrm{argcosh }(x) \end{aligned}\] On a donc, pour tout \(x\gt 1\), \[\begin{aligned} \mathrm{argcosh }'(x) &=\frac{1}{\sinh(\mathrm{argcosh }(x))}\\ &=\frac{1}{\sqrt{\cosh(\mathrm{argcosh }(x))^2-1}}\\ &=\frac{1}{\sqrt{x^2-1}}\,. \end{aligned}\] On peut aussi exprimer explicitement la réciproque: pour tout \(x\in[1,+\infty[\), \[ \mathrm{argcosh }(x)=\log(x+\sqrt{x^2-1})\,. \]

Finalement, \(\tanh\) étant strictement croissante, continue, et puisque \[ \lim_{x\to-\infty}\tanh(x)=-1\,,\qquad \lim_{x\to+\infty}\tanh(x)=+1\,,\qquad \] on en conclut que \(\tanh:\mathbb{R}\to]-1,1[\) est bijective.

Sa réciproque se note \[\begin{aligned} \mathrm{argtanh }:]-1,1[&\to\mathbb{R}\\ x&\mapsto \mathrm{argtanh }(x)\,, \end{aligned}\] avec \[ \mathrm{argtanh }(x)=\frac12 \log\Bigl( \frac{1+x}{1-x} \Bigr)\,. \]