8.6 Continuité uniforme
Continuité uniforme
Si une fonction est continue sur un ensemble \(D\), cela signifie que si
on considère un point \(x_1\in D\), alors
ses valeurs en des points proches de \(x_1\) sont proches de
\(f(x_1)\).
Puis si on considère un autre point \(x_2\in D\), alors
ses valeurs en des points proches de \(x_2\) sont proches de
\(f(x_2)\).
Mais il se peut très bien que la proximité ne soit pas la même en \(x_1\) et en
\(x_2\).
Pour illustrer ce poins, considérons
\(f(x)=\frac{1}{x}\) sur \(]0,1[\).
DESSIN
On dit que \(f:D\to \mathbb{R} \) est uniformément continue si pour tout
\(\varepsilon>0\) il existe \(\delta>0\) tel que \(|f(x)-f(x')|\leqslant \varepsilon\) dès
que \(|x-x'|\leqslant \delta\).
\(f(x))=\sin(x)\) est uniformément continue sur tout \(\mathbb{R}\).
Il est clair que si une fonction est uniformément continue, alors elle est
continue. Mais le contraire n'est pas vrai comme le montre l'exemple suivant.
\(f(x)=\frac{1}{x}\) est continue, mais pas uniformément, sur \(]0,1[\).
Par contre, pour des fonctions définies sur des intervalles compacts (fermés et
bornés), continuité et continuité uniforme sont des notions équivalentes:
[Continuité uniforme sur les compacts]
Si \(f:[a,b]\to\mathbb{R}\) est continue, alors elle est uniformément continue.
On utilisera ce résultat surtout dans le chapitre sur l'intégration.