8.2 Prolongement par continuité

Soit \(I\) un intervalle, \(x_0\in I\), et soit \(f:I\setminus \{x_0\}\to\mathbb{R}\) définie partout sur \(I\), à l'exception du point \(x_0\in I\). Supposons, de plus, que la limite \[ L:= \lim_{x\to x_0}f(x) \] existe:

On peut alors étendre \(f\) à tout \(I\), en définissant \[\begin{aligned} \widetilde{f}:I&\to \mathbb{R}\\ x&\mapsto \begin{cases} f(x)&\text{ si }x\neq x_0\,,\\ L&\text{ si }x=x_0\,. \end{cases} \end{aligned}\]

La fonction \(\widetilde{f}\) ainsi obtenue est continue en tout point de \(I\); elle s'appelle la prolongée de \(f\) par continuité.

\(\bigstar\) Du point de vue du graphe, on n'a fait que ''boucher le trou'', pour rendre la fonction continue sur tout l'intervalle.

Exemple: Considérons la fonction \(f:\mathbb{R}\setminus\{3\}\to \mathbb{R}\), définie par \[ f(x):= \begin{cases} \sqrt{4-x}&\text{ si }x\lt 3\,,\\ x-2&\text{ si }x\gt 3\,. \end{cases} \] On a déjà montré que \(f\) est continue en tout point \(x_0\neq 3\). On a aussi calculé \[ \lim_{x\to 3}f(x)=1\,. \] On peut donc prolonger cette fonction par continuité à toute la droite, en définissant \[ \widetilde{f}(x):= \begin{cases} \sqrt{4-x}&\text{ si }x\lt 3\,,\\ 1&\text{ si }x=3\,,\\ x-2&\text{ si }x\gt 3\,. \end{cases} \]

Exemple: Considérons \(f:\mathbb{R}^*\to\mathbb{R}\), définie par \[f(x):=\frac{\sin (x)}{x}\,.\]

Clairement, \(f\) est continue en tout point \(x_0\in \mathbb{R}^*\). Et puisque \(\lim_{x\to 0}f(x)\) existe et vaut \(1\), \(f\) peut être prolongée par continuité à toute la droite. Sa prolongée est donnée par \[ \widetilde{f}(x)= \begin{cases} \frac{\sin(x)}{x}&\text{ si }x\neq 0\,,\\ 1&\text{ si }x=0\,. \end{cases} \]

\(\bigstar\) On ne peut pas toujours, comme dans les deux exemples précédents, ''boucher le trou'' pour rendre une fonction continue partout:

Exemple: Soit \(f:\mathbb{R}_*\to\mathbb{R}\) définie par \[ f(x):= \begin{cases} 0&\text{ si }x\lt 0\,,\\ 1&\text{ si }x\gt 0\,. \end{cases} \]

Alors \(f\) est continue en tout point de \(\mathbb{R}_*\), Mais comme \(\lim_{x\to 0}f(x)\) n'existe pas (puisque \(\lim_{x\to 0^-}f(x)=0\) est différent de \(\lim_{x\to 0^+}f(x)=1\)), cette fonction ne peut pas être prolongée par continuité.

Quiz 8.2-1 : Soit \(x_0\in ]-1,1[\) et soit \(f\) une fonction continue en chaque point de \(]-1,1[\setminus\{x_0\}\). Vrai ou faux?
  1. () \(f\) est continue en \(x_0\).
  2. () La limite \(\lim_{x\to x_0}f(x)\) existe.
  3. () Au moins une des limites latérales \(\lim_{x\to x_0^{\pm}}f(x)\) existe.
  4. () Il existe une prolongée par continuité \(\widetilde{f}:]-1,1[\to \mathbb{R}\).
  5. () Si \(\lim_{x\to x_0}f(x)\) existe, alors la fonction \(g:\mathbb{R}\setminus\{x_0\} \to \mathbb{R}\), définie par \(g(x):=\frac{f(x)}{f(x)^2+1}\) pour tout \(x\neq x_0\), est prolongeable par continuité en \(x_0\).




---- (Dernière modification: 2022-10-31 (07:27:52)) ----