Soit \(I\) un intervalle, \(x_0\in I\), et soit \(f:I\setminus \{x_0\}\to\mathbb{R}\) définie partout sur \(I\), à l'exception du point \(x_0\in I\). Supposons, de plus, que la limite \[ L:= \lim_{x\to x_0}f(x) \] existe:
On peut alors étendre \(f\) à tout \(I\), en définissant \[\begin{aligned} \widetilde{f}:I&\to \mathbb{R}\\ x&\mapsto \begin{cases} f(x)&\text{ si }x\neq x_0\,,\\ L&\text{ si }x=x_0\,. \end{cases} \end{aligned}\]
La fonction \(\widetilde{f}\) ainsi obtenue est continue en tout point de \(I\); elle s'appelle la prolongée de \(f\) par continuité.
\(\bigstar\) Du point de vue du graphe, on n'a fait que ''boucher le trou'', pour rendre la fonction continue sur tout l'intervalle.
Exemple: Considérons la fonction \(f:\mathbb{R}\setminus\{3\}\to \mathbb{R}\), définie par \[ f(x):= \begin{cases} \sqrt{4-x}&\text{ si }x\lt 3\,,\\ x-2&\text{ si }x\gt 3\,. \end{cases} \] On a déjà montré que \(f\) est continue en tout point \(x_0\neq 3\). On a aussi calculé \[ \lim_{x\to 3}f(x)=1\,. \] On peut donc prolonger cette fonction par continuité à toute la droite, en définissant \[ \widetilde{f}(x):= \begin{cases} \sqrt{4-x}&\text{ si }x\lt 3\,,\\ 1&\text{ si }x=3\,,\\ x-2&\text{ si }x\gt 3\,. \end{cases} \]
Exemple: Considérons \(f:\mathbb{R}^*\to\mathbb{R}\), définie par \[f(x):=\frac{\sin (x)}{x}\,.\]
\(\bigstar\) On ne peut pas toujours, comme dans les deux exemples précédents, ''boucher le trou'' pour rendre une fonction continue partout:
Exemple: Soit \(f:\mathbb{R}_*\to\mathbb{R}\) définie par \[ f(x):= \begin{cases} 0&\text{ si }x\lt 0\,,\\ 1&\text{ si }x\gt 0\,. \end{cases} \]