Une fonction continue à droite, mais pas à gauche, en \(x_0\):
La continuité est la condition de régularité la plus naturelle que l'on puisse associer à une fonction \(f\) en un point \(x_0\): elle impose que les valeurs de \(f(x)\), pour \(x\) dans un petit voisinage de \(x_0\) soient proches de la valeur de \(f(x_0)\). Cette condition se formule rigoureusement en utilisant une limite:
La continuité d'une fonction \(f\) en un point \(x_0\) signifie que les valeurs de \(f(x)\) sont proches de \(f(x_0)\) pour tous les points \(x\) proches de \(x_0\). Plus précisément: pour tout \(\varepsilon\gt 0\), il existe \(\delta\gt 0\) tel que \[ |f(x)-f(x_0)|\leqslant \varepsilon\quad \text{ dès que }\quad |x-x_0|\leqslant \delta\,. \] Sur l'animation suivante, choisir un \(x_0\) et tester la continuité de \(f\) en \(x_0\), en procédant comme suit:
Exemple: Étudions la continuité de la fonction \[ f(x):= \begin{cases} \sqrt{4-x}&\text{ si }x\lt 3\,,\\ \frac{3}{2}&\text{ si }x=3\,,\\ x-2&\text{ si }x\gt 3\,. \end{cases} \] Montrons d'abord que \(f\) est continue en tout point \(x_0\neq 3\):
Considérons ensuite le cas \(x_0=3\). D'une part, en ce point la fonction prend la valeur \(f(3)=3/2\), mais d'autre part \[\lim_{x\to 3^-}f(x)=\lim_{x\to 3^-}(\sqrt{4-x})=1\,,\] \[\lim_{x\to 3^+}f(x)=\lim_{x\to 3^+}(x-2)=1\,,\] ce qui implique l'existence de \(\lim_{x\to 3}f(x)\), mais \[\lim_{x\to 3}f(x)\neq f(3)\,,\] donc \(f\) est discontinue en \(x_0=3\).
L'exemple précédent montre comme il est facile de créer une discontinuité en un point \(x_0\): en définissant la fonction différemment de part et d'autre de \(x_0\).
\(\bigstar\) Les fonctions qui sont continues en tout point de leur domaine de définition, sur lesquelles nous reviendrons, jouent un rôle particulier en analyse, car elle jouissent de certaines propriétés remarquables. Du point de vue graphique, le graphe d'une telle fonction ne présente aucun saut, et peut théoriquement être tracé ''sans lever le crayon''.
En vue de l'exemple du début de cette section, on voit qu'il est facile de créer des fonctions possédant une, deux ou plusieurs discontinuités. On peut évidemment créer des fonctions possédant une infinité de discontinuités (par exemple, la valeur entière \(x\mapsto \lfloor x\rfloor\) est discontinue en tout point \(x_0\in \mathbb{Z}\)), mais il existe des fonctions qui ne sont continues nulle part...
Exemple: La fonction \[ f(x):= \begin{cases} 1&\text{ si }x\in \mathbb{Q}\,,\\ 0&\text{ si }x\in \mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}\, \end{cases} \] est discontinue en tout \(x_0\in \mathbb{R}\). En effet, pour un \(x_0\in \mathbb{R}\) quelconque, il existe toujours une suite d'irrationnels \(i_n\to x_0\), pour laquelle \[\lim_{n\to\infty}f(i_n)=0\,,\] et une suite de rationnels \(r_n\to x_0\), pour laquelle \[\lim_{n\to\infty}f(r_n)=1\,.\] Ceci implique que \(f(x)\) n'a pas de limite lorsque \(x\to x_0\), et donc que \(f\) n'est pas continue en \(x_0\). Comme ce raisonnement vaut pour tout \(x_0\), \(f\) est discontinue partout.
En bas de page, on donne un exemple d'une fonction qui est discontinue ''presque partout'', dans le sens suivant: continue en tout point irrationnel, discontinue en tout point rationnel.
Lemme: Les fonctions qui sont des sommes, produits, quotients (lorsqu'ils sont bien définis) et composées de fonctions continues sont continues.
Ces propriétés suivent directement des propriétés de la limite. Par exemple, si \(f\) et \(g\) sont continues en \(x_0\), alors \(f+g\) est aussi continue en \(x_0\) puisque \[\begin{aligned} \lim_{x\to x_0}(f+g)(x)&= \lim_{x\to x_0}f(x)+ \lim_{x\to x_0}g(x)\\ &= f(x_0)+g(x_0)\\ &=(f+g)(x_0) \end{aligned}\]
La plupart des fonctions fondamentales de l'analyse sont continues (sur leur domaine).
Introduisons une notion de continuité un peu plus faible:
Une fonction continue à droite, mais pas à gauche, en \(x_0\):
Exemple: Étudions la continuité de la fonction \[ f(x)= \begin{cases} \displaystyle\frac{\sqrt{x+9}-3}{x}&\text{ si }0\lt x\lt \frac{\pi}{3}\,,\\ 1/6&\text{ si }x=0\,,\\ \displaystyle\frac{x^2+x}{\sin(3x)}&\text{ si }-\frac{\pi}{3}\lt x\lt 0\,, \end{cases} \] au point \(x_0=0\). Puisque \(f\) est définie différemment de part et d'autre de \(0\), on étudie les limites latérales: \[ \lim_{x\to 0^+}f(x)= \lim_{x\to 0^+}\frac{\sqrt{x+9}-3}{x}= \lim_{x\to 0^+}\frac{1}{\sqrt{x+9}+3}= \frac16\,, \] \[ \lim_{x\to 0^-}f(x)= \lim_{x\to 0^-}\frac{x^2+x}{\sin(3x)}= \lim_{x\to 0^-}\frac{1}{\frac{\sin(3x)}{3x}}\frac{x+1}{3}= \frac13\,. \] Puisque \(f(0)=\frac16\), on conclut qu'en \(0\), \(f\) est continue à droite mais discontinue à gauche.
Théorème: Soit \(f\) définie en \(x_0\) et dans son voisinage. Alors \(f\) est continue en \(x_0\) si et seulement si elle est continue à gauche et à droite en \(x_0\).
Est une conséquence de l'équivalence entre limite et égalité des limites latérales.
Attention: ne manquez pas de lire l'exemple tout en fin de section!
()
Si \(f\) est continue en \(x_1\) et \(g\) est continue en \(x_2\), alors
\(f+g\) est continue en \(x_1+x_2\).
()
Si \(f\) et \(g\) sont toutes deux discontinues en \(x_0\), alors
\(f+g\) est aussi discontinue en \(x_0\).
()
Si \(f\) est continue en \(x_0\) et \(g\) est discontinue en \(x_0\), alors
\(f+g\) est discontinue en \(x_0\).
() Si \(f\) est continue en \(x_*\) et si \((y_n)\) est une suite telle
que \(y_n\to x_*\),
alors \(f(y_n)\to f(x_*)\).
() Soit \(x_0\in \mathbb{R}\).
Si il existe deux suites \((a_n)\) et \((b_n)\) telles que
\(a_n\to x_0\),
\(b_n\to x_0\),
\(f(a_n)\to
L_1\), \(f(b_n)\to L_2\), avec \(L_1\neq L_2\), alors \(f\) est discontinue en
\(x_0\).
() Si \(f\) est continue en \(x_0\), alors \(f\) est continue en tout
point \(x_0'\) suffisamment proche de \(x_0\).
() Si \(f\) est continue en \(x_0\) et si \(f(x_0)\neq 0\), alors
\(f(x)\neq 0\) pour tout \(x\) suffisamment proche de \(x_0\).
() Si \(f\) est discontinue en \(x_0\) et si \(f(x_0)=0\), alors
\(f(x_0-\varepsilon)f(x_0+\varepsilon)\lt 0\) pour tout \(\varepsilon\gt 0\) suffisamment
petit.
()
Il existe \(L\) tel que \(\lim_{x\to x_0}f(x)=L\).
()
Si on fixe \(x\neq x_0\), suffisamment proche de \(x_0\), alors
\(|f(x)-f(x_0)|\leqslant \varepsilon\) pour tout \(\varepsilon>0\).
()
Il existe \(\delta>0\) tel que \(|f(x)-f(x_0)|\leqslant \frac{1}{\pi^3}\)
dès que \(|x-x_0|\leqslant \frac{\delta}{10}\).
() La fonction \(h:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) définie par
\[ h(x)=
\begin{cases}
f(x)&\text{ si }x\leqslant 0\,,\\
g(x)&\text{ si }x\gt 0
\end{cases}
\]
est aussi continue.
() La fonction \(h:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) définie par
\[ h(x)=
\begin{cases}
f(x)&\text{ si }x\in \mathbb{Q}\,,\\
g(x)&\text{ si }x\in \mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}\,
\end{cases}
\]
est aussi continue.
Exemple: ⚡ Considérons la fonction \(f:\left]0,1\right[\to\mathbb{R}\) définie par \[ f(x):= \begin{cases} 0&\text{ si }x\text{ est irrationnel,}\\ \frac{1}{q}&\text{ si }x=\frac{p}{q}\text{ (irréductible).}\\ \end{cases} \] Par exemple, \[ f(\tfrac12)=\tfrac12\,,\qquad f(\tfrac35)=\tfrac15\,,\qquad f(\tfrac{12}{39})=f(\tfrac{4}{13})=\tfrac{1}{13}\,. \] Le graphe de \(f\) ressemble à quelque chose comme ça:
Nous allons montrer que \(f\) est continue en tout point irrationnel, discontinue en tout point rationnel.