Dans cette section, on construit la fonction logarithme, on étudie ses propriétés, et on l'utilise pour en déduire la fonction exponentielle.
Pour commencer définissons, pour tous \(a,b\gt 0\), le nombre \[ I(a,b):= \int_a^b\frac{dt}{t}\,. \] Si \(a\lt b\), \(I(a,b)\) le nombre s'interprète comme l'aire de la région délimitée par l'axe \(Ox\), le graphe de la fonction \(t\mapsto \frac{1}{t}\), et les deux droites verticales d'équations \(x=a\) et \(x=b\): Si \(a\gt b\), la convention faite sur l'intégrale implique que \[ I(a,b)=-I(b,a)\,. \]
Cette fonction de deux variables satisfait aux propriétés suivantes:
La première propriété suit de \(\int_{a}^bf(t)dt+\int_b^cf(t)dt=\int_a^cf(t)dt\). Pour la deuxième, par le changement de variable \(s:= t/\lambda \) (qui donne \(dt=\lambda ds\)) dans l'intégrale définie, \[ I(\lambda a,\lambda b) =\int_{\lambda a}^{\lambda b}\frac{dt}{t} =\int_{a}^{b}\frac{\lambda dt}{\lambda s} =\int_{a}^{b}\frac{dt}{s} =I(a,b)\,. \]
On a en particulier: \[ \log(1)=0\,. \]
La propriété remarquable de cette fonction est qu'elle transforme des produits en sommes:
Théorème: Pour tous \(x,y \gt 0\), \[ \log(xy)=\log(x)+\log(y)\,. \]
Par la proposition, \(I(x,xy)=I(y)\), et donc, en utilisant la relation de Chasles, \[\begin{aligned} \log(xy) &=I(1,xy)\\ &=I(1,x)+I(x,xy)\\ &=I(1,x)+I(1,y)\\ &=\log(x)+\log(y)\,. \end{aligned}\]
Par conséquent, pour tout \(x\gt 0\), \[ 0=\log(1)=\log(x\tfrac1x)=\log(x)+\log(\tfrac1x)\,, \] qui donne \[ \log(\tfrac1x)=-\log(x)\,. \]
Théorème: Le logarithme est dérivable sur \(\mathbb{R}^*_+\), et \[ (\log(x))'=\frac{1}{x}\,. \] En particulier, \(x\mapsto \log(x)\) est strictement croissante.
Par le Théorème Fondamental de l'Analyse, étant défini comme l'intégrale d'une fonction continue, \(\log\) est dérivable et \[ (\log(x))'= \Bigl( \int_1^x\frac{dt}{t} \Bigr)'=\frac{1}{x}\qquad \forall x\in\mathbb{R}^*_+\,. \]
Puisque le logarithme est dérivable, il est continu sur \(\mathbb{R}_+^*\).
Lemme: \[ \lim_{x\to+\infty}\log(x)=+\infty\,,\qquad \lim_{x\to 0^+}\log(x)=-\infty\,. \]
Puisque c'est une fonction strictement croissante, il suffit de montrer que
\[
\lim_{n\to\infty}\log(n)=
\lim_{n\to\infty}I(1,n)=
+\infty\,.
\]
En comparant l'aire sous la courbe avec les rectangles de bases \([k,k+1]\) sous
la courbe, \(k=1,\dots,n-1\),
\[ I(1,n)\geqslant \frac12+\frac13+\frac14+\cdots+\frac{1}{n}\,.
\]
On reconnaît dans cette somme la somme partielle de la série harmonique, qui
tend vers l'infini lorsque \(n\to\infty\).
L'autre limite est une conséquence de la première, puisque par le changement de
variable \(x=\frac{1}{y}\),
\[\begin{aligned}
\lim_{x\to 0^+}\log(x)
&= \lim_{y\to +\infty}\log(\tfrac1y)\\
&= -\lim_{y\to +\infty}\log(y)\\
&=-\infty\,.
\end{aligned}\]
Puisque \(\log\) est continue, les deux limites ci-dessus impliquent que \(\mathrm{Im} (\log)=\mathbb{R}\). Puisqu'elle est strictement croissante, elle est aussi injective. On a donc montré que \(\log\) est une bijection.
Par définition, \[\begin{aligned} \log(\exp(x))&=x\qquad \forall x\in\mathbb{R}\,,\\ \exp(\log(y))&=y\qquad \forall y\in\mathbb{R}_+^*\,.\\ \end{aligned}\]
On a la propriété fondamentale: \[\begin{aligned} \exp(x+y) &=\exp\bigl(\log(\exp(x))+\log(\exp(y))\bigr)\\ &=\exp\bigl(\log(\exp(x)\exp(y))\bigr)\\ &=\exp(x)\exp(y))\,. \end{aligned}\] De plus, en dérivant la relation \[ x=\log(\exp(x))\,, \] par rapport à \(x\), \[ 1=\log'(\exp(x))=\frac{1}{\exp(x)}(\exp(x))'\,, \] qui entraîne \[ \exp(x)'=\exp(x)\,. \]
(On peut procéder comme dans la section précédente.)
Dernière compilation: 2024-10-05 (22:34:30)
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