14.1 \(\exp\) et \(\log\)

Il existe plusieurs manières de définir rigoureusement les fonctions exponentielles et logarithme, mais toutes commencent par en construire une pour ensuite obtenir l'autre.

Dans cette section, on construit d'abord la fonction exponentielle à l'aide d'une série de puissances, on étudie ses propriétés, et on l'utilise ensuite pour construire la fonction logarithme. (Dans la section suivante on fera le contraire.)

Considérons la série numérique \(\sum_{n\geqslant 0}a_n(x)\) avec paramètre \(x\), pour laquelle \[ a_n(x):=\frac{x^n}{n!}\,. \] Puisqu'on a, pour tout \(x\in \mathbb{R}\), que \[ \lim_{n\to\infty}\Bigl|\frac{a_{n+1}(x)}{a_n(x)}\Bigr|= \lim_{n\to\infty}\frac{|x|}{n+1}=0\,, \] le critère de d'Alembert implique que la série \(\sum_{n\geqslant 0}a_n(x)\) converge absolument, et définit ainsi une fonction sur tout \(\mathbb{R}\).

On appelle exponentielle la fonction \[\begin{aligned} \exp:\mathbb{R}&\to\mathbb{R}\\ x&\mapsto \exp(x):= \sum_{n\geqslant 0}\frac{x^n}{n!}\,. \end{aligned}\]

Remarquons que par définition, \[ \exp(0)=1\,. \]

Toute l'importance de cette fonction réside dans sa propriété fondamentale: elle transforme les sommes en produits. Plus précisément:

Théorème: Pour tous \(x,y\in \mathbb{R}\), on a \[ \exp(x+y)=\exp(x)\exp(y)\,. \]

Par définition, \[ \exp(x+y)=\lim_{N\to\infty}\sum_{n=0}^N\frac{(x+y)^n}{n!}\,. \] Par la formule du binôme, pour tout \(n\geqslant 0\), \[ (x+y)^n=\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}x^ky^{n-k}\,, \] ce qui permet d'écrire \[\begin{aligned} \sum_{n=0}^N\frac{(x+y)^n}{n!} &=\sum_{n=0}^N\sum_{k=0}^n\frac{1}{k!(n-k)!}x^ky^{n-k}\\ &=\sum_{k=0}^N\sum_{n=k}^N\frac{1}{k!(n-k)!}x^ky^{n-k}\\ &=\sum_{k=0}^N\frac{x^k}{k!}\sum_{n=k}^N\frac{y^{n-k}}{(n-k)!}\\ &=\sum_{k=0}^N\frac{x^k}{k!}\sum_{l=0}^{N-k}\frac{y^{l}}{l!}\\ \end{aligned}\] Définissons \(N'=\lfloor \frac{N}{2}\rfloor\), et décomposons la somme sur \(k\) en deux: \[ \sum_{k=0}^N = \sum_{k=0}^{N'} + \sum_{k=N'+1}^N \] La deuxième s'estime comme suit: puisque \(\sum_{l=0}^{N-k}\frac{|y|^{l}}{l!}\leqslant \exp(|y|)\), \[\begin{aligned} \Bigl| \sum_{k=N'+1}^N \frac{x^k}{k!}\sum_{l=0}^{N-k}\frac{y^{l}}{l!} \Bigl| &\leqslant \sum_{k=N'+1}^N \frac{|x|^k}{k!}\sum_{l=0}^{N-k}\frac{|y|^{l}}{l!}\\ &\leqslant \exp(|y|)\sum_{k=N'+1}^N \frac{|x|^k}{k!}\,, \end{aligned}\] qui tend vers zéro lorsque \(N\to \infty\). On peut ensuite écrire la première somme ainsi: \[\begin{aligned} \sum_{k=0}^{N'}&\frac{x^k}{k!}\sum_{l=0}^{N-k}\frac{y^{l}}{l!}\\ &=\exp(y)\sum_{k=0}^{N'}\frac{x^k}{k!} -\sum_{k=0}^{N'}\frac{x^k}{k!}\Bigl(\exp(y)-\sum_{l=0}^{N-k}\frac{y^{l}}{l!}\Bigr)\\ &= \exp(x)\exp(y)+\\ &\phantom{xxxxxx}\exp(y)\Bigl(\sum_{k=0}^{N'}\frac{x^k}{k!} -\exp(x) \Bigr) -\sum_{k=0}^{N'}\frac{x^k}{k!}\Bigl(\exp(y)-\sum_{l=0}^{N-k}\frac{y^{l}}{l!}\Bigr)\,, \end{aligned}\] D'une part, \[ \lim_{N\to\infty} \sum_{k=0}^{N'}\frac{x^k}{k!}=\exp(x)\,, \] et d'autre part, pour tout \(\varepsilon\gt 0\) on a que, pour tout \(N\) suffisamment grand, et pour tout \(k\leqslant N'\), \[ \Bigl| \exp(y)-\sum_{l=0}^{N-k}\frac{y^{l}}{l!} \Bigr|\leqslant \varepsilon\,, \] qui permet de majorer \[ \Bigl| \sum_{k=0}^{N'}\frac{x^k}{k!} \Bigl( \exp(y)-\sum_{l=0}^{N-k}\frac{y^{l}}{l!} \Bigr) \Bigr| \leqslant \varepsilon |\exp(y)| \] On a donc bien démontré que \[ \exp(x+y) =\lim_{N\to\infty}\sum_{n=0}^N\frac{(x+y)^n}{n!} =\exp(x)\exp(y)\,. \]

Cette propriété rappelle celle de la fonction ''puissance'' en arithmétique, \(n\mapsto a^n\), qui transforme aussi les sommes en produits: pour toute base \(a\gt 0\), \[ a^{m+n}=a^ma^n\qquad \forall m,n\in \mathbb{N}\,. \] La base se retrouve en prenant \(n=1\): \(a^1=a\).

Pour cette raison, on utilise souvent la notation \[ \exp(x)\equiv e^x\,, \] où le nombre \[ e:= \exp(1)=\sum_{n\geqslant 0}\frac{1}{n!}=2.718\cdots\, \]

Voyons des conséquences de la propriété fondamentale:

Pour tout \(x\in \mathbb{R}\), \(\exp(-x)=\frac{1}{\exp(x)}\).

En utilisant le théorème, \[ 1=\exp(0)=\exp(x+(-x))=\exp(x)\exp(-x)\,. \]

Puisque \(\exp(x)\gt 1\gt 0\) pour tout \(x\gt 0\) , le corollaire implique que \(0\lt \exp(-x)=\frac{1}{\exp(x)}\lt 1\) pour tout \(x\gt 0\). En particulier, \(\exp(x)\gt 0\) pour tout \(x\in \mathbb{R}\), donc on peut écrire plus précisément l'ensemble d'arrivée de l'exponentielle: \[\begin{aligned} \exp:\mathbb{R}&\to\mathbb{R}_+^*\\ x&\mapsto \exp(x)\,. \end{aligned}\]

Théorème: L'exponentielle est dérivable sur \(\mathbb{R}\), et \[ \bigl(\exp(x)\bigr)'=\exp(x)\qquad \forall x\in \mathbb{R}\,. \]

Il s'agit de calculer \[\begin{aligned} \lim_{h\to 0}\frac{\exp(x+h)-\exp(x)}{h} &= \lim_{h\to 0}\frac{\exp(x)\exp(h)-\exp(x)}{h}\\ &= \exp(x)\lim_{h\to 0}\frac{\exp(h)-1}{h}\,. \end{aligned}\] Or \[\begin{aligned} \frac{\exp(h)-1}{h} &=\frac{1}{h}\sum_{k\geqslant 1}\frac{h^k}{k!}\\ &=\sum_{k\geqslant 1}\frac{h^{k-1}}{k!}\\ &=\sum_{j\geqslant 0}\frac{h^{j}}{(j+1)!}\\ &=1+\sum_{j\geqslant 1}\frac{h^j}{(j+1)!}\,, \end{aligned}\] ce qui entraîne, lorsque \(|h|\lt 1\), et puisque \((j+1)!\geqslant 1\), \[\begin{aligned} \Bigl| \frac{\exp(h)-1}{h}-1 \Bigr| &\leqslant \sum_{j\geqslant 1}\frac{|h|^j}{(j+1)!}\\ &\leqslant \sum_{j\geqslant 1} |h|^j\\ &=\frac{|h|}{1-|h|}\,. \end{aligned}\] (On a sommé la série géométrique.) On a donc \[ \lim_{h\to 0} \frac{\exp(h)-1}{h}=1\,, \] ce qui démontre l'affirmation.

Une conséquence immédiate de ce dernier résultat: étant dérivable partout, \(x\mapsto \exp(x)\) est continue. On utilise ce fait pour démontrer:

\(\exp:\mathbb{R}\to\mathbb{R}^*_+\) est une bijection.

Remarquons que si \(x\gt 0\), alors \(\frac{x^k}{k!}\gt 0\) pour tout \(k\geqslant 2\), et donc \[ \exp(x)\gt 1+x \qquad \forall x\gt 0\,, \] qui entraîne \[ \lim_{x\to+\infty}\exp(x)=+\infty\,, \] ainsi que \[ \lim_{x\to-\infty}\exp(x)= \lim_{y\to+\infty}\exp(-y)= \lim_{y\to+\infty}\frac{1}{\exp(y)}=0\,. \] Fixons maintenant \(y\gt 0\). Les deux limites ci-dessus impliquent qu'il existe \(a\) et \(b\) tels que \(\exp(a)\lt y \lt \exp(b)\). Par le Théorème de la valeur intermédiaire appliqué à \(\exp:[a,b]\to \mathbb{R}\), on en déduit qu'il existe \(x\in]a,b[\) tel que \(\exp(x)=y\). Ceci montre que \(\mathrm{Im} (\exp)=\mathbb{R}_+^*\), et donc que la fonction est surjective.

Montrons qu'elle aussi injective. Pour ce faire, remarquons que si \(x\lt x'\), le Théorème des accroissements finis implique qu'il existe \(c\in]x,x'[\) tel que \[ \frac{\exp(x')-\exp(x)}{x'-x}=\exp'(c)=\exp(c)\,. \] Puisque \(\exp(c)\gt 0\), on en déduit que \(\exp(x)\lt \exp(x')\).

Ainsi, \(\exp:\mathbb{R}\to\mathbb{R}^*_+\) est bijective.

On a démontré, en passant, que \[ \lim_{x\to-\infty} \exp(x)=0\,,\qquad \lim_{x\to+\infty} \exp(x)=+\infty\,. \]

Logarithme

Puisque l'exponentielle est bijective, on peut considérer sa réciproque:

La réciproque de \(\exp:\mathbb{R}\to\mathbb{R}^*_+\) est appelée logarithme: \[\begin{aligned} \log:\mathbb{R}_+^*&\to \mathbb{R}\\ x&\mapsto \log(x) \end{aligned}\]

Par définition, on a donc \[\begin{aligned} \log(\exp(x))&=x\qquad \forall x\in\mathbb{R}\,,\\ \exp(\log(y))&=y\qquad \forall y\in\mathbb{R}_+^*\,.\\ \end{aligned}\]

Si l'exponentielle transforme des sommes en produits, sa réciproque doit forcément transformer des produits en sommes:

Théorème: Pour tous \(x,y\in\mathbb{R}_+^*\), \[ \log(xy)=\log(x)+\log(y)\,. \]

Par définition, \(t=\log(xy)\) si et seulement si \(\exp(t)=xy\). Mais \(x=\exp(\log(x))\) et \(y=\exp(\log(y))\), et donc \[ \exp(t)=\exp(\log(x))\exp(\log(y))= \exp\bigl(\log(x)+\log(y)\bigr)\,. \] Ceci implique que \(\log(xy)=t=\log(x)+\log(y)\).

D'autres propriétés qui découlent directement du fait que le logarithme est la réciproque de l'exponentielle: \(\log(1)=0\), \[ \log(x) \begin{cases} \lt 0 &\text{ si }0\lt x\lt 1\,\\ \gt 0 &\text{ si }x\gt 1\,. \end{cases} \]

De plus, par le théorème sur la dérivée de la fonction réciproque, pour tout \(x\gt 0\), en dérivant les deux côtés de l'identité \[ \exp(\log(x))=x\,, \] on obtient \[ \exp'(\log(x))(\log(x))'=1\,, \] qui donne \[ (\log(x))' =\frac{1}{\exp'(\log(x))} =\frac{1}{\exp(\log(x))}=\frac1x\,. \] Notons encore que \[ \lim_{x\to 0^+} \log(x)=-\infty\,,\qquad \lim_{x\to+\infty} \log(x)=+\infty\,. \]

Changements de base

On peut utiliser \(\exp\) et \(\log\) pour définir d'autres fonctions, dont les propriétés sont semblables mais que l'on interprète comme exponentielles et logarithmes dans des bases différentes.

Soit \(a\gt 0\), appelé base.

L'exponentielle de base \(a\) est la fonction \[\begin{aligned} \exp_a:\mathbb{R}&\to\mathbb{R}^*_+\\ x&\mapsto \exp_a(x):= \exp(x\log(a))\,. \end{aligned}\]

On a bien sûr que \[\begin{aligned} \exp_a(x+y) &=\exp((x+y)\log(a))\\ &=\exp(x\log(a)+y\log(a))\\ &=\exp(x\log(a))\exp(y\log(a))\\ &=\exp_a(x)\exp_a(y)\,, \end{aligned}\] et on utilise aussi la notation \(\exp_a(x)\equiv a^x\).

On peut ensuite calculer \[ (\exp_a(x))'=\bigl(\exp(x\log(a))\bigr)'=\log(a)\underbrace{\exp_a(x)}_{\gt 0}\,, \] et puisque le signe de \(\log(a)\) change, on en déduit que \(\exp_a(x)\) est strictement croissante si \(a\gt 1\), strictement décroissante si \(0\lt a\lt 1\).

Remarquons que l'on peut maintenant considérer une exponentielle évaluée en un point \(x\gt 0\), mais dont la base est elle-même une fonction \(a(y)\gt 0\): \[ \exp_{a(y)}(x)=a(y)^x:= \exp(x\log(a(y)))\,. \] En particulier, on a la formule classique: pour tous \(x,y\in \mathbb{R}\), \[ (a^y)^x:= \exp(x\log(a^y)) =\exp((xy)\log(a)) =a^{xy}\,. \]

Aussi, si la base dépend de \(x\) et que l'exposant est une fonction de \(x\), on doit admettre implicitement la définition suivante:

Si \(f(x)\gt 0\), alors \[f(x)^{g(x)}:= \exp\bigl(g(x)\log(f(x))\bigr)\,. \]

Dernière compilation: 2024-01-22 (20:49:39)

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