Analyse 1 | S. Friedli (EPFL)

II.1 Sommes et produits

Sommes finies

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Lorsqu'on considère des sommes de beaucoup de nombres, on a avantage à utiliser une notation compacte, qui évite d'écrire explicitement tous les termes de la somme: $x_1+x_2+\cdots+x_N\equiv \sum_{k=1}^Nx_k\,.$ On lit ce dernier symbole ''somme des $x_k$ , pour $k$ allant de $1$ à $N$ '', et on appelle $x_k$ le terme général de la somme.

Notons que l'indice $k$ utilisé ci-dessus est muet, dans le sens où il n'est utilisé ''temporairement'' que pour nommer l'entier sur lequel on somme. On pourrait donc le nommer de façon arbitraire, cela ne change pas la valeur de la somme: $\sum_{k=1}^Nx_k =\sum_{j=1}^Nx_j =\sum_{n=1}^Nx_n\,.$

Lemme: La somme satisfait aux propriétés suivantes.

Pour toute constante $\lambda\in \mathbb{R}$ , $\displaystyle \sum_{k=1}^N(\lambda a_k)=\lambda\sum_{k=1}^Na_k$ .
$\displaystyle \sum_{k=1}^N(a_k+b_k)=\Bigl(\sum_{k=1}^Na_k\Bigr)+\Bigl(\sum_{k=1}^Nb_k\Bigr)$ .

Il existe certains cas où le terme général est assez simple pour que la valeur de la somme puisse être calculée explicitement en fonction de $N$ :

Exemple: Si le terme général est constant, $x_k=C$ (pour tout $k$ ), alors $\sum_{k=1}^Nx_k=\underbrace{C+C+C+\cdots +C}_{N\text{ fois}}=CN\,.$

Exemple: Si $x_k=k$ , on montrera plus tard par récurrence que $\sum_{k=1}^Nx_k= 1+2+3+\dots+N=\frac{N(N+1)}{2}\,.$

Exemple: La somme harmonique a pour terme général $x_k=\frac1k$ : $\sum_{k=1}^N\frac1k =1+\frac12+\frac13+\frac14+\dots+\frac1N\,.$ On ne peut hélàs pas la calculer exactement en fonction de $N$ , mais nous verrons plus tard qu'elle se comporte, lorsque $N$ est grand, essentiellement comme $\log N$ .

Il y a un autre type de sommes que l'on sait sommer exactement, et qui sera d'importance capitale pour la suite:

Les sommes géométriques

Soit $r\in \mathbb{R}$ un réel fixé, appelé raison. La somme de terme général $x_k=r^k$ , pour $k$ allant de $0$ à $N$ , $\boxed{S_N := \sum_{k=0}^Nr^k =1+r+r^2+r^3+\dots +r^N \,,}$ est appelée somme géométrique.

On peut calculer $S_N$ exactement, quelle que soit la valeur de $N$ . En effet, si $r=1$ , alors $S_N=N+1$ (puisque la somme $S_N$ contient $N+1$ termes constants, égaux à $1$ ). Pour les autres valeurs de $r$ :

Lemme: Si $r\neq 1$ , alors $S_N=\frac{1-r^{N+1}}{1-r}\,.$

Preuve:

Remarquons que $S_N=S_{N-1}+r^N$ , et que $\begin{aligned} S_N&=1+r+r^2+r^3+\cdots+r^N\\ &=1+r(1+r+r^2+\cdots +r^{N-1})\\ &=1+rS_{N-1}\\ &=1+r(S_N-r^{N})\,. \end{aligned}$ Cette égalité permet d'écrire $(1-r)S_N=1-r^{N+1}$ , et puisqu'on suppose que $r\neq 1$ , on peut diviser des deux côtés par $1-r$ , ce qui donne bien $S_N=\frac{1-r^{N+1}}{1-r}$ .

Exemple: On peut par exemple calculer, $\begin{aligned} 7^{100}+7^{101}+7^{102}+\dots+7^{1000} &=7^{100}\bigl(1+7+7^2+\dots+7^{900}\bigr)\\ &=7^{100}\sum_{k=0}^{900}7^k\\ &=7^{100}\frac{1-7^{901}}{1-7}\\ &=\frac{7^{1001}-7^{100}}{6}\,. \end{aligned}$

Produits finis

Il existe aussi un symbole utile pour le produit d'un nombre fini de réels: $a_1\cdot a_2\cdot a_3\cdots a_N\equiv \prod_{k=1}^Na_k\,,$ qui se lit ''produit des $a_k$ , pour $k$ allant de $1$ à $N$ .

Quiz II.1-1 : Soient

x_1,x_2,\dots,x_N

des nombres réels quelconques. Vrai ou faux?

$\displaystyle \sum_{k=1}^Nx_k=\sum_{j=1}^Nx_j$
$\displaystyle \sum_{k=1}^Nx_k=Nx_k$
$\displaystyle \sum_{k=1}^Nx_k=x_1+\sum_{k=2}^Nx_k$
$\displaystyle \sum_{j=1}^Nx_j\geqslant \sum_{k=1}^{N-1}x_k$
$\displaystyle \sum_{j=1}^Nx_j=x_N+\sum_{k=1}^{N-1}x_k$
$\displaystyle \Bigl(\sum_{j=1}^Nx_j\Bigr)^2=\sum_{k=1}^{N}x_k^2$