La fonction sinus, vue comme définie sur tout \(\mathbb{R}\), \[\begin{aligned} \sin:\mathbb{R} &\to[-1,1]\\ x&\mapsto \sin(x)\,, \end{aligned}\] est surjective mais pas injective puisque périodique. On peut la rendre injective en restreignant son domaine. La restriction standard est de prendre \([-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]\). Ainsi, \[\begin{aligned} \sin:[-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}] &\to[-1,1]\\ x&\mapsto \sin(x) \end{aligned}\] est bijective.

Sa réciproque s'appelle l'arcsinus: \[\begin{aligned} \arcsin:[-1,1]&\to[-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}] \\ y&\mapsto \arcsin(y) \end{aligned}\] Comme on sait, son graphe est celui du sinus, réfléchi à travers la diagonale du premier quadrant:

Par définition, \[\begin{aligned} \arcsin(\sin(x))&=x\,\qquad \forall x\in [-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}]\,,\\ \sin(\arcsin(x))&=x\,\qquad \forall x\in [-1,1]\,. \end{aligned}\]

La fonction cosinus, vue comme définie sur tout \(\mathbb{R}\), \[\begin{aligned} \cos:\mathbb{R} &\to[-1,1]\\ x&\mapsto \cos(x)\,, \end{aligned}\] est surjective mais pas injective puisque périodique. On peut la rendre injective en restreignant son domaine. La restriction standard est de prendre \([0,\pi]\). Ainsi, \[\begin{aligned} \cos:[0,\pi] &\to[-1,1]\\ x&\mapsto \cos(x) \end{aligned}\] est bijective.

Sa réciproque s'appelle l'arccosinus: \[\begin{aligned} \arccos:[-1,1]&\to[0,\pi] \\ y&\mapsto \arccos(y) \end{aligned}\] Comme on sait, son graphe est celui du cosinus, réfléchi à travers la diagonale du premier quadrant:

Par définition, \[\begin{aligned} \arccos(\cos(x))&=x\,\qquad \forall x\in [0,\pi]\,,\\ \cos(\arccos(x))&=x\,\qquad \forall x\in [-1,1]\,. \end{aligned}\]

La fonction tangente \[\begin{aligned} \tan:\mathbb{R}\setminus\{\tfrac{\pi}{2}+k\pi\,,k\in\mathbb{Z}\} &\to \mathbb{R}\\ x&\mapsto \tan(x)\,, \end{aligned}\] est surjective mais pas injective puisque périodique. On peut la rendre injective en restreignant son domaine. La restriction standard est de prendre \(]-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}[\). Ainsi, \[\begin{aligned} \tan:\left]-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right[ &\to\mathbb{R}\\ x&\mapsto \tan(x) \end{aligned}\] est bijective.

Sa réciproque s'appelle l'arctangente: \[\begin{aligned} \arctan:\mathbb{R}&\to ]-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}[\\ y&\mapsto \arctan(y) \end{aligned}\] Comme on sait, son graphe est celui de la tangente, réfléchi à travers la diagonale du premier quadrant:

Par définition, \[\begin{aligned} \arctan(\tan(x))&=x\,\qquad \forall x\in ]\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}[\,,\\ \tan(\arctan(x))&=x\,\qquad \forall x\in \mathbb{R}\,. \end{aligned}\]