Analyse 1 | S. Friedli (EPFL)

9.6 Dérivées latérales

Pour parler de la dérivabilité d'une fonction en un point \(x_0\), il faut que cette fonction soit définie dans un voisinage épointé de \(x_0\). Ceci signifie en particulier que \(f\) doit être définie des deux côtés de \(x_0\).

Si \(f\) n'est définie que d'un côté de \(x_0\), on peut tout de même introduire une notion de dérivée latérale:

Soit \(x_0\in \mathbb{R}\).

Soit \(f\) définie en \(x_0\) et dans un voisinage à gauche. On dit que \(f\) est dérivable à gauche en \(x_0\) si le nombre \(f_-'(x_0)\) défini par la limite \[ f'_-(x_0)=\lim_{x\to x_0^-} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} \] existe (et est fini). On appelle \(f'_-(x_0)\) la dérivée à gauche en \(x_0\).
Soit \(f\) définie en \(x_0\) et dans un voisinage à droite. On dit que \(f\) est dérivable à droite en \(x_0\) si le nombre \(f_+'(x_0)\) défini par la limite \[ f'_+(x_0)=\lim_{x\to x_0^+} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} \] existe (et est fini). On appelle \(f'_+(x_0)\) la dérivée à droite en \(x_0\).

Observons que la dérivabilité à gauche (resp. à droite) en \(x_0\) implique qu'il existe une droite tangente à gauche (resp. à droite) au point \((x_0,f(x_0))\).

Il peut donc exister des fonctions qui peuvent être dérivables à gauche ou à droite en un point, mais sans être dérivable en ce point.

Exemple: On sait que \(f(x)=|x|\) n'est pas dérivable en \(x_0=0\):

Pourtant, ses dérivées latérales existent en \(0\), puisque \[ f'_\pm(0) =\lim_{x\to 0\pm}\frac{|x|-|0|}{x-0} =\lim_{x\to 0\pm}\frac{\pm x}{x}=\pm 1\,. \]

L'existence et l'égalité des dérivées latérales en un point entraîne la dérivabilité en ce point:

Théorème: \(f\) est dérivable en \(x_0\) si et seulement si \(f'_-(x_0)\) et \(f'_+(x_0)\) existent et sont égales (et dans ce cas, \(f'(x_0)=f'_-(x_0)=f'_+(x_0)\)).

Par définition, \[\begin{aligned} f'_-(x_0)&=\lim_{x\to x_0^-} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\,,\\ f'_+(x_0)&=\lim_{x\to x_0^-} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\,. \end{aligned}\] Donc ces deux limites existent et sont égales si et seulement si \[ \lim_{x\to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} \] existe et prend la même valeur.

Donc si les dérivées latérales existent et sont égales, la fonction est dérivable (image de gauche ci-dessous), et si les dérivées latérales existent toutes les deux mais que leurs valeurs sont différentes, alors la fonction n'est pas dérivable, et son graphe fait un ''coude'' au point \(x_0\) (image de droite ci-dessous):

Fonctions définies par morceaux

Soient \(f,g\) deux fonctions définies sur toute la droite, et \(x_*\in \mathbb{R}\). Considérons la fonction \(f\) suivante, définie par morceaux: \[ f(x):= \begin{cases} g(x)&\text{ si }x\leqslant x_*\,,\\ h(x)&\text{ si }x> x_*\,. \end{cases} \] Si \(f\) est continue en \(x_*\), on pourra tester la dérivabilité de \(f\) en \(x_*\), par le théorème précédent, en calculant les dérivées latérales de \(f\) en \(x_*\), et en vérifiant qu'elle sont égales.

Exemple: Étudions la dérivabilité de \[ f(x)= \begin{cases} g(x)=3-x^2&\text{ si }x\leqslant 1\,,\\ h(x)=x^3-3x^2+4&\text{ si }x>1\, \end{cases} \] au point \(x_*=1\). Remarquons que \(f\) est continue en ce point puisque \[ \lim_{x\to 1^-}f(x)= \lim_{x\to 1^-}g(x)=2= \lim_{x\to 1^+}h(x)= \lim_{x\to 1^+}f(x)\,, \] qui est également égale à \(f(1)=2\).

Pour tester la dérivabilité, \[\begin{aligned} f'_-(1) &=\lim_{x\to 1^-}\frac{f(x)-f(1)}{x-1}\\ &=\lim_{x\to 1^-}\frac{g(x)-g(1)}{x-1}\\ &=\lim_{x\to 1^-}\frac{(3-x^2)-2}{x-1} =-2 \end{aligned}\] \[\begin{aligned} f'_+(1) &=\lim_{x\to 1^+}\frac{f(x)-f(1)}{x-1}\\ &=\lim_{x\to 1^+}\frac{h(x)-g(1)}{x-1}\\ &=\lim_{x\to 1^+}\frac{(x^3-3x^2+4)-2}{x-1} =-3 \end{aligned}\] Comme \(f'_-(1)\neq f'_+(1)\), \(f\) n'est pas dérivable en \(1\).

Exemple: Soit \[f(x):= \begin{cases} x^2+a x+1&\text{ si }x\lt 0\,,\\ \sin(2x)+b&\text{ si }x\geqslant 0\,. \end{cases} \] Remarquons qu'en dehors de \(0\), \(f\) est partout dérivable, quelles que soient les valeurs de \(a\) et \(b\). Déterminons les paramètres \(a,b\) de manière à ce que \(f\) soit dérivable en \(x_0=0\).

Pour être dérivable en \(0\), il faut d'abord que \(f\) soit continue en \(0\). Commençons donc par assurer que \(f\) est continue en \(0\). Pour cela, remarquons que \(f(0)=\sin(2\cdot 0)+b=b\), \[ \lim_{x\to 0^+}f(x) =\lim_{x\to 0^+}(\sin(2x)+b) =b\,, \] et \[ \lim_{x\to 0^-}f(x)=\lim_{x\to 0^-}(x^2+ax+1)=1\,. \] Pour avoir la continuité en \(0\), on doit donc imposer \(b=1\).

Passons à la dérivabilité en \(0\). Puisqu'on peut dorénavant considérer que \(b=1\), on calcule d'abord \[\begin{aligned} f'_-(0)&= \lim_{h\to 0^-}\frac{f(h)-f(0)}{h}\\ &= \lim_{h\to 0^-}\frac{(h^2+ah+1)-1}{h}\\ &= \lim_{h\to 0^-}(a+h)=a\,, \end{aligned}\] puis \[\begin{aligned} f'_+(0) &= \lim_{h\to 0^+}\frac{f(h)-f(0)}{h}\\ &= \lim_{h\to 0^+}\frac{(\sin(2h)+1)-1}{h} \lim_{h\to 0^+}\frac{\sin(2h)}{h}= 2\,. \end{aligned}\] Comme \(f\) est dérivable en \(0\) si et seulement si \(f'_-(0)=f'_+(0)\), la seule possibilité est d'imposer \(a=2\).

Quiz 9.6-1 : Soit \(f\) définie en \(x_0\) et dans son voisinage. Vrai ou faux?

Si \(f'_-(x_0)\) existe, alors \(f\) est continue à gauche en \(x_0\).
Si \(f'_+(x_0)=0\), alors il existe \(\delta\gt 0\) tel que soit \(f(x)\geqslant f(x_0)\) pour tout \(x_0\lt x\leqslant x_0+\delta\), soit \(f(x)\leqslant f(x_0)\) pour tout \(x_0\lt x\leqslant x_0+\delta\).
Si \(f'_-(x_0)\) et \(f'_+(x_0)\) existent mais sont différentes, alors \(f\) n'est pas dérivable en \(x_0\).
Si \(f'_+(x_0)\) existe, alors il existe \(\delta\gt 0\) tel que \(f\) est dérivable sur \(]x_0,x_0+\delta[\).