Les règles de dérivation vues dans la section précédente permettent de calculer,
en principe, la dérivée de n'importe quelle fonction, tant que celle-ci est
obtenue par combinaisons
(sommes ou différences, produits ou quotients, composées)
d'autres fonctions plus simples que l'on sait déjà
dériver. Il est donc important de
connaître les dérivées des fonctions élémentaires.
Ci-dessous, \((\dots)'\) indique la dérivation par rapport à la variable \(x\).
Pour tout \(n\in \mathbb{N}\), \[ \boxed{(x^n)'=nx^{n-1}} \]
On démontre la formule par récurrence sur \(n\). La formule est valide pour \(n=1\) et \(n=2\) (voir plus haut). Si on suppose la formule valide pour \(n\), alors par la règle de dérivation d'un produit, \[ (x^{n+1})'=(x\cdot x^{n})'=1\cdot x^n+x\cdot nx^{n-1}=(n+1)x^n\,. \]
\[ \boxed{(\sin x)'=\cos x\,.} \]
Montrons que \[\lim_{h\to 0}\frac{\sin(x_0+h)-\sin(x_0)}{h}=\cos (x_0)\,. \] En utilisant la formule de trigonométrie pour le sinus d'une somme, \[ \sin(\alpha+\beta)=\sin(\alpha)\cos(\beta)+\cos(\alpha)\sin(\beta)\,, \] on peut écrire \[\begin{aligned} \frac{\sin(x_0+h)-\sin(x_0)}{h} &=\frac{\bigl(\sin(x_0)\cos(h)+\cos(x_0)\sin(h)\bigr)-\sin(x_0)}{h}\\ &=\sin(x_0)\underbrace{\frac{\cos(h)-1}{h}}_{\to 0} +\underbrace{\frac{\sin(h)}{h}}_{\to 1}\cos(x_0) \end{aligned}\] Dans la dernière ligne, on a fait \[ \lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h} = \lim_{h\to 0}h\frac{\cos(h)-1}{h^2}=0\cdot (-\tfrac12)=0\,. \]
\[ \boxed{(\cos x)'=-\sin x\,.} \]
On utilise le fait que \(\cos(x)=\sin(\tfrac{\pi}{2}-x)\), et la formule pour la dérivée d'une composée: \[\begin{aligned} (\cos(x))' &=(\sin(\tfrac{\pi}{2}-x))'\\ &=\cos(\tfrac{\pi}{2}-x)\cdot (\tfrac{\pi}{2}-x)'\\ &=\sin(x)\cdot (-1) \end{aligned}\]
\[ \boxed{(\tan x)'=1+\tan^2x=\frac{1}{\cos(x)^2}\,.} \]
Par la formule pour la dérivée d'un quotient, \[(\tan (x))'=\Bigl(\frac{\sin(x)}{\cos(x)}\Bigr)' =\frac{\cos(x)^2+\sin(x)^2}{\cos(x)^2} \]
\[ \boxed{(\log x)'=\frac1x\,,\quad x\gt 0\,.} \]
On calcule, pour tout \(x>0\), \[\begin{aligned} (\log(x))' &=\lim_{h\to 0}\frac{\log(x+h)-\log(x)}{h}\\ &=\lim_{h\to 0}\frac{\log(x(1+\frac{h}{x}))-\log(x)}{h}\\ &=\lim_{h\to 0}\frac{(\log(x)+\log(1+\frac{h}{x}))-\log(x)}{h}\\ &=\lim_{h\to 0}\frac{\log(1+\frac{h}{x})}{h}\\ &=\frac{1}{x}\Bigl\{\lim_{h\to 0}\frac{\log(1+\frac{h}{x})}{\frac{h}{x}}\Bigr\}\\ &=\frac{1}{x}\Bigl\{\lim_{t\to 0}\frac{\log(1+t)}{t}\Bigr\}\\ &=\frac1x\,. \end{aligned}\] Dans l'avant-dernière ligne, on a posé \(t=\frac{h}{x}\), et utilisé le fait que si \(h\to 0\), alors \(t\to 0\). On a ensuite utilisé \(\lim_{t\to 0}\frac{\log(1+t)}{t}=1\), que nous avons étudiée ici.
\[ \boxed{(e^x)'=e^x\,.} \]
\[\begin{aligned} (e^x)' &=\lim_{h\to 0}\frac{e^{x+h}-e^x}{h}\\ &=\lim_{h\to 0}\frac{e^{x}e^{h}-e^x}{h}\\ &=e^x\left\{\lim_{h\to 0}\frac{e^{h}-1}{h}\right\}\\ &=e^x \end{aligned}\] Voir les commentaires sur blackpenredpen.
\[ \boxed{(a^x)'=\log(a)a^x}\,. \]
En exponentiant, \(a=e^{\log(a)}\), \[\begin{aligned} (a^x)' &=(e^{x\log(a)})'\\ &=\log(a) e^{x\log(a)}\\ &=\log(a) a^x\,. \end{aligned}\]
\[ \boxed{(\log_a(x))'=\frac{1}{x\log(a)}} \]
Par la formule du changement de base pour le logarithme, \[ (\log_a(x))' =\Bigl(\frac{\log(x)}{\log(a)}\Bigr)' =\frac{1}{\log(a)}(\log(x))' =\frac{1}{\log(a)}\cdot\frac1x\,. \]
Pour tout \(\alpha\in \mathbb{R}\), \[ \boxed{(x^\alpha)'=\alpha x^{\alpha-1}\,,\quad x\gt 0\,.} \]
En exponentiant, \(x=e^{\log(x)}\) (\(x>0\)), \[ (x^\alpha)'=(e^{\alpha\log(x)})' =e^{\alpha\log(x)}(\alpha\log(x))' =x^\alpha\frac{\alpha}{x} =\alpha x^{\alpha-1} \]
Exemple: Considérons, pour \(x>0\), la fonction \[h(x)= x^x\,.\] Remarquons que \(h(x)\) n'est ni de la forme \(x^\alpha\), ni de la forme \(a^x\), mais bien du type \(f(x)^{g(x)}\), on doit donc la considérer comme définie à l'aide d'une exponentiation: \[ h(x):= e^{x\log(x)}\,. \] On la dérive alors en utilisant les règles de dérivation: \[\begin{aligned} h'(x)=(e^{x\log(x)})' &=e^{x\log x}(x\log x)'\\ &=(\log(x)+x\tfrac{1}{x})e^{x\log x}\\ &=(\log (x)+1)x^x\,. \end{aligned}\]
Dernière compilation: 2024-12-04 (07:30:07)
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