9.8 Fonctions continûment dérivables

Soit \(I\subset \mathbb{R}\) un intervalle ouvert.

Un premier niveau de régularité que l'on a rencontré, pour une fonction \(f:I\to \mathbb{R}\), est celui de continuité. Ensuite, on a vu que la dérivabilité est un niveau de régularité plus fort (dans le sens où toute fonction dérivable est continue).

Il est naturel d'introduire un niveau de régularité encore supérieur, plus fort que la dérivabilité, en exigeant que la dérivée soit elle-même continue:

Soit \(f:I\to \mathbb{R}\), dérivable en tout point de \(I\). Si \(f':I\to \mathbb{R}\) est continue, on dit que \(f\) est continûment dérivable sur \(I\). On note \(C^1(I)\) l'ensemble des fonctions continûment dérivables sur \(I\).

Exemple: Sur \(I=\mathbb{R}\), considérons \(f(x)=x^2\sin(x)\). Puisque \(f\) est un produit d'un polynôme (dérivable) par un sinus (dérivable aussi), elle est dérivable. De plus, \[ f'(x)=2x\sin(x)+x^2\cos(x)\,. \] Comme \(f'\) est une combinaison linéaire de produits de polynômes par des sinus et cosinus, elle est elle-même continue. On en déduit que \(f\) est continûment dérivable sur \(\mathbb{R}\): \(f\in C^1(\mathbb{R})\).

Exemple: Sur \(]0,1[\), considérons \(f(x)=\frac{1}{x}\). Alors \(f\) est dérivable sur \(]0,1[\) et sa dérivée est donnée par \[ f'(x)=-\frac{1}{x^2}\,. \] Comme \(f'\) est aussi continue sur \(]0,1[\), ceci implique que \(f\) est continûment dérivable sur \(]0,1[\): \(f\in C^1(]0,1[)\).

Les polynômes, les fonctions trigonométriques, etc. sont des fonctions continûment dérivables sur leur ensemble de définition.

Bien-sûr, une fonction qui n'est pas dérivable en un point n'est pas continûment dérivable. Mais il est aussi possible qu'une fonction soit dérivable partout, sans être continûment dérivable:

Exemple: Soit \[ f(x)= \begin{cases} \dfrac{x}{2}+\dfrac{x^2}{5}\sin\left(\dfrac{1}{x}\right)&\text{ si }x\neq 0\\ 0&\text{ si }x=0\,. \end{cases} \] On remarque que \(f\) est continue en tout point, en particulier en \(0\) puisque \[\lim_{x\to 0}f(x)=0=f(0)\,.\] Ensuite, \(f\) est dérivable en tout point \(x\neq 0\). Sur \(\mathbb{R}^*\), sa dérivée se calcule à l'aide des règles de dérivation: \[\begin{aligned} f'(x) &=\Bigl( \frac{x}{2}+\frac{x^2}{5}\sin\left(\frac{1}{x}\right) \Bigr)'\\ &=\frac12+\frac{2x}{5}\sin\left(\frac{1}{x}\right) -\frac{1}{5}\cos\left(\frac{1}{x}\right)\,. \end{aligned}\] Ensuite, \(f\) est aussi dérivable en \(0\), puisque \[\begin{aligned}f'(0) &=\lim_{x\to 0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}\\ &=\lim_{x\to 0}\frac{\dfrac{x}{2}+\dfrac{x^2}{5}\sin(\dfrac{1}{x})-0}{x}\\ &=\lim_{x\to 0}\left(\frac{1}{2}+\frac{x}{5}\sin\left(\frac{1}{x}\right)\right) =\frac12\,. \end{aligned}\] Donc \(f\) est dérivable sur tout \(\mathbb{R}\).

Testons maintenant la continuité de \(f'\). Clairement, \(f'\) est continue sur \(\mathbb{R}^*\), puisque par l'expression ci-dessus ce n'est qu'une combinaison de fonctions continues: \[ f'(x)= \frac12+\frac{2x}{5}\sin\left(\frac{1}{x}\right) -\frac{1}{5}\cos\left(\frac{1}{x}\right)\,. \] Pourtant, on remarque que lorsque \(x\to 0\), \(f'(x)\) n'a pas de limite, ce qui est dû à la présence de \(\tfrac{1}{5}\cos(\tfrac{1}{x})\). Ce terme n'ayant pas de limite en \(0\), \(f'\) n'est pas continue en \(0\). Ceci fait de \(f\) une fonction qui est dérivable sur \(\mathbb{R}\), mais pas continûment dérivable.

Fonctions \(k\) fois continûment dérivables
\(C^k(I)\) désigne l'ensemble des fonctions \(f:I\to\mathbb{R}\), \(k\) fois dérivables, telles que \(f^{(1)},\dots,f^{(k)}\) existent et sont continues sur \(I\). On dit qu'une telle fonction est de classe \(C^k\) (sur \(I\)).
Plus l'indice \(k\) est grand, plus une fonction \(f\in C^k\) est régulière.

Remarquons que si \(f\) est \(k+1\) fois dérivable sur \(I\), alors elle est de classe \(C^k\). On a donc les inclusions suivantes: \[ C^1(I)\supset C^2(I)\supset \cdots \supset C^k(I)\supset C^{k+1}(I)\supset\cdots \]

Exemple: Considérons \[ f(x) = \begin{cases} +x^2&\text{ si }x\geqslant 0\,,\\ -x^2&\text{ si }x\lt 0\,. \end{cases} \] Montrons que \(f\in C^1(\mathbb{R})\). D'abord, \(f\) est clairement dérivable en tout point \(x_0\). En effet, si \(x\gt 0\) alors \(f'(x)=(x^2)'=2x\), et si \(x\lt 0\) alors \(f'(x)=(-x^2)'=-2x\). Il faut maintenant considérer \(x_0=0\). Par un calcul direct, \[\begin{aligned} f_-'(0)& =\lim_{h\to 0^+}\frac{f(h)-f(0)}{h}=\lim_{h\to 0^+}\frac{+h^2}{h}=0\,,\\ f_+'(0)& =\lim_{h\to 0^-}\frac{f(h)-f(0)}{h}=\lim_{h\to 0^+}\frac{-h^2}{h}=0\,. \end{aligned}\] Donc \(f'(0)=0\). Ainsi, \(f\) est dérivable partout, et on peut écrire sa dérivée \[ f'(x)= \begin{cases} +2x&\text{ si }x\gt 0\,,\\ 0&\text{ si }x= 0\,,\\ -2x&\text{ si }x\lt 0\,. \end{cases} \] Plus simplement: \[ f'(x)=2|x|\,\qquad \forall x\in \mathbb{R}\,. \] Puisque \(x\mapsto |x|\) est continue sur \(\mathbb{R}\), on en déduit que \(f'\) est continue sur \(\mathbb{R}\), ce qui implique que \(f\in C^1(\mathbb{R})\). Mais comme \(f'\) n'est pas dérivable en \(0\), on a aussi que \(f\not\in C^2(I)\).

Quiz 9.8-1 : Soit \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), dérivable en tout point \(x\neq 0\). Vrai ou faux?
  1. \(f\) n'est pas dérivable en \(x=0\).
  2. \(f':\mathbb{R}^*\to \mathbb{R}\) est continue.
  3. Si \(\lim_{x\to 0^+}f'(x)=\lim_{x\to 0^-}f'(x)\), alors \(f\) est dérivable en \(x=0\).
  4. Si \(\lim_{x\to 0}f'(x)\) existe, alors \(f\) est continue en \(x=0\).
  5. Si \(\lim_{x\to 0}f'(x)\) existe, alors \(\lim_{x\to 0}f(x)\) existe.
  6. Si \(\lim_{x\to 0^+}f'(x)\) et \(\lim_{x\to 0^-}f'(x)\) n'existent pas, alors \(f\) n'est pas dérivable en \(x=0\).
Quiz 9.8-2 : (MAN 2021) Soit \(f:I\to \mathbb{R}\), où \(I\) est un intervalle ouvert. Parmi les conditions ci-dessous, lesquelles impliquent que \(f\) est continûment dérivable sur \(I\)?
  1. Pour tout \(x_0\in I\), \(\displaystyle\lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)\) et la limite \(\displaystyle\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\) existe.
  2. Pour tout \(x\in I\), la limite \(\displaystyle g(x):= \lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\) existe, et \(g:I\to \mathbb{R}\) est continue.
  3. Il existe \(x_0\in I\) tel que \(f\) est continue et dérivable en \(x_0\), et \(\displaystyle \lim_{x\to x_0}f'(x)=f'(x_0)\).
  4. \(f\) est dérivable en tout \(x_0\in I\), et \(f'\) est dérivable en tout \(x_0\in I\).
Quiz 9.8-3 : Soit \(I=]a,b[\), \(f:I\to \mathbb{R}\). Vrai ou faux?
  1. Si \(f\in C^1(I)\), alors \(f\) est continue sur \(I\).
  2. Si \(f\in C^1(I)\), alors il n'existe aucun \(x_0\in I\) où \(f\) est deux fois dérivable.
  3. Si \(f^{(k)}\) existe, alors \(f\in C^k(I)\).
  4. Si \(f\in C^1(I)\), alors \(f':I\to \mathbb{R}\) est bornée.
  5. Si \(f\in C^1(I)\), et si \(f'\) n'est pas bornée, alors \(f\) n'est pas bornée.
  6. Si \(f\in C^k(I)\), alors \(f\in C^j(I)\) pour tout entier \(1\leqslant j\lt k\).
  7. Si \(f\in C^k(I)\), alors pour tout \(x_0\in I\) et tout \(j\in \{1,2,\dots,k\}\), \(\lim_{x\to x_0}f^{(j)}(x)=f^{(j)}(x_0)\).
  8. Si \(f'(x)=|x|\), alors \(f\in C^1(I)\).

Dernière compilation: 2023-09-10 (09:28:17)

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