Soit \(I\subset \mathbb{R}\) un intervalle ouvert.
Un premier niveau de régularité que l'on a rencontré, pour une fonction \(f:I\to
\mathbb{R}\), est celui de continuité.
Ensuite, on a vu que la dérivabilité est un
niveau de régularité plus fort (dans le sens où toute fonction dérivable est
continue).
Il est naturel, pour introduire un niveau de régularité supplémentaire,
plus fort que la dérivabilité,
d'exiger que la dérivée soit elle-même continue:
Exemple: Sur \(I=\mathbb{R}\), considérons \(f(x)=x^2\sin(x)\). Puisque \(f\) est un produit d'un polynôme (dérivable) par un sinus (dérivable aussi), elle est dérivable. De plus, \[ f'(x)=2x\sin(x)+x^2\cos(x)\,. \] Comme \(f'\) est une combinaison linéaire de produits de polynômes par des sinus et cosinus, elle est elle-même continue. On en déduit que \(f\) est continûment dérivable sur \(\mathbb{R}\): \(f\in C^1(\mathbb{R})\).
Exemple: Sur \(]0,1[\), considérons \(f(x)=\frac{1}{x}\). Alors \(f\) est dérivable sur \(]0,1[\) et sa dérivée est donnée par \[ f'(x)=-\frac{1}{x^2}\,. \] Comme \(f'\) est aussi continue sur \(]0,1[\), ceci implique que \(f\) continûment dérivable sur \(]0,1[\): \(f\in C^1(]0,1[)\).
Les polynômes, les fonctions trigonométriques, etc. sont des fonctions continûment dérivables sur leur ensemble de définition.
Voyons un exemple de fonction qui n'est pas \(C^1\).
Exemple:
Soit
\[
f(x)=
\begin{cases}
\frac{x}{2}+\frac{x^2}{5}\sin(\frac{1}{x})&\text{ si }x\neq 0\\
0&\text{ si }x=0\,.
\end{cases}
\]
On remarque que \(f\) est continue en tout point,
en particulier en \(0\) puisque
\[\lim_{x\to 0}f(x)=0=f(0)\,.\]
Ensuite, \(f\) est dérivable en \(x\neq 0\), et
sa dérivée se calcule à l'aide des règles de dérivation:
\[f'(x)=\Bigl(
\tfrac{x}{2}+\tfrac{x^2}{5}\sin(\tfrac{1}{x})
\Bigr)'
=\tfrac12+\tfrac{2x}{5}\sin(\tfrac{1}{x})-\tfrac{1}{5}\cos(\tfrac{1}{x})\,.
\]
Ensuite, \(f\) est aussi dérivable en \(0\), puisque
\[\begin{aligned}f'(0)
&=\lim_{x\to 0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}\\
&=\lim_{x\to 0}\frac{\frac{x}{2}+\frac{x^2}{5}\sin(\tfrac{1}{x})-0}{x}\\
&=\lim_{x\to 0}\bigl\{\tfrac{1}{2}+\tfrac{x}{5}\sin(\tfrac{1}{x})\bigr\}\\
&=\tfrac12\,.
\end{aligned}\]
Donc \(f\) est dérivable sur tout \(\mathbb{R}\).
Testons maintenant la continuité de \(f'\). Clairement, \(f'\) est
continue en tout point différent de \(0\), puisque par l'expression ci-dessus ce
n'est qu'une combinaison de fonctions continues.
Pourtant, on remarque que lorsque
\(x\to 0\), \(f'(x)\) n'a pas de limite (à cause du terme oscillant
\(\tfrac{1}{5}\cos(\tfrac{1}{x})\)). En particulier,
\[ \lim_{x\to 0}f'(x)\neq f'(0)\,,
\]
Ceci fait de \(f\) une fonction qui est dérivable sur \(\mathbb{R}\), mais pas
continûment dérivable.
\(\bigstar\) Plus l'indice \(k\) est grand, plus une fonction \(f\in C^k\) est régulière.
Remarquons que si \(f\) est \(k+1\) fois dérivable sur \(I\), alors elle est de classe \(C^k\). On a donc les inclusions suivantes: \[ C^1(I)\supset C^2(I)\supset \cdots \supset C^k(I)\supset C^{k+1}(I)\supset\cdots \]
Exemple: Considérons \[ f(x) = \begin{cases} +x^2&\text{ si }x\geqslant 0\,,\\ -x^2&\text{ si }x\lt 0\,. \end{cases} \] Montrons que \(f\in C^1(\mathbb{R})\). D'abord, \(f\) est clairement dérivable en tout point \(x_0\). En effet, si \(x\gt 0\) alors \(f'(x)=(x^2)'=2x\), et si \(x\lt 0\) alors \(f'(x)=(-x^2)'=-2x\). Il faut maintenant considérer \(x_0=0\). Par un calcul direct, \[\begin{aligned} f_-'(0)& =\lim_{h\to 0^+}\frac{f(h)-f(0)}{h}=\lim_{h\to 0^+}\frac{+h^2}{h}=0\,,\\ f_+'(0)& =\lim_{h\to 0^-}\frac{f(h)-f(0)}{h}=\lim_{h\to 0^+}\frac{-h^2}{h}=0\,. \end{aligned}\] Donc \(f'(0)=0\). Ainsi, \(f\) est dérivable partout, et on peut écrire sa dérivée \[ f'(x)= \begin{cases} +2x&\text{ si }x\gt 0\,,\\ 0&\text{ si }x= 0\,,\\ -2x&\text{ si }x\lt 0\,. \end{cases} \] Plus simplement: \[ f'(x)=2|x|\,\qquad \forall x\in \mathbb{R}\,. \] Puisque \(x\mapsto |x|\) est continue sur \(\mathbb{R}\), on en déduit que \(f'\) est continue sur \(\mathbb{R}\), ce qui implique que \(f\in C^1(\mathbb{R})\). Mais comme \(f'\) n'est pas dérivable en \(0\), on a aussi que \(f\not\in C^2(I)\).
() \(f\) n'est pas dérivable en \(x=0\).
() \(f':\mathbb{R}^*\to \mathbb{R}\) est continue.
() Si \(\lim_{x\to 0^+}f'(x)=\lim_{x\to 0^-}f'(x)\), alors \(f\) est
dérivable en \(x=0\).
() Si \(\lim_{x\to 0}f'(x)\) existe, alors \(f\) est continue en
\(x=0\).
() Si \(\lim_{x\to 0}f'(x)\) existe, alors \(\lim_{x\to 0}f(x)\) existe.
() Si \(\lim_{x\to 0^+}f'(x)\) et
\(\lim_{x\to 0^-}f'(x)\) n'existent pas, alors \(f\) n'est
pas dérivable en \(x=0\).
()
Pour tout \(x_0\in I\),
\(\displaystyle\lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)\) et la limite
\(\displaystyle\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\) existe.
()
Pour tout \(x\in I\), la limite
\(\displaystyle
g(x):= \lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\) existe, et \(g:I\to \mathbb{R}\)
est continue.
()
Il existe \(x_0\in I\) tel que \(f\) est continue et dérivable en \(x_0\), et
\(\displaystyle \lim_{x\to x_0}f'(x)=f'(x_0)\).
()
\(f\) est dérivable en tout \(x_0\in I\), et
\(f'\) est dérivable en tout \(x_0\in I\).
() Si \(f\in C^1(I)\), alors \(f\) est continue sur \(I\).
() Si \(f\in C^1(I)\), alors il n'existe aucun \(x_0\in I\) où \(f\) est
deux fois dérivable.
() Si \(f^{(k)}\) existe, alors \(f\in C^k(I)\).
() Si \(f\in C^1(I)\), alors \(f':I\to \mathbb{R}\) est bornée.
()
Si \(f\in C^1(I)\), et si \(f'\) n'est pas bornée, alors \(f\) n'est
pas bornée.
() Si \(f\in C^k(I)\), alors \(f\in C^j(I)\) pour tout entier
\(1\leqslant j\lt k\).
() Si \(f\in C^k(I)\), alors pour tout \(x_0\in I\) et tout
\(j\in \{1,2,\dots,k\}\), \(\lim_{x\to x_0}f^{(j)}(x)=f^{(j)}(x_0)\).
() Si \(f'(x)=|x|\), alors \(f\in C^1(I)\).