Rappelons qu'une fonction \(f\) est convexe si pour toute paire de points
\(x_1\lt x_2\), et pour tout \(\lambda\in[0,1]\),
\[ f((1-\lambda)x_1+\lambda x_2)\leqslant (1-\lambda) f(x_1)+\lambda f(x_2)\,.\]
L'interprétation graphique étant que tout segment reliant deux points
quelconques du graphe est au-dessus du graphe.
Or on peut remarquer que lorsque \(f\) est dérivable, c'est-à-dire lorsque
\(f'(x)\) est défini pour tout \(x\), alors la convexité semble être équivalente
au fait que \(x\mapsto f'(x)\) est croissante:
Sur l'animation ci-dessus, on a une fonction qui est manifestement convexe et dérivable, et on observe que sa dérivée est croissante. Ceci implique que si la dérivée est dérivable, et si la dérivée de la dérivée, c'est-à-dire la dérivée seconde, est positive, alors la fonction doit être convexe. Plus précisément:
Théorème: Soit \(I\) un intervalle ouvert, \(f:I\to \mathbb{R}\) deux fois dérivable sur \(I\) (\(f\) est dérivable, et \(f'\) est aussi dérivable sur \(I\)).
Il suffit de démontrer la première implication. Remarquons d'abord que comme \(f''\geqslant 0\), \(f'\) est croissante sur \(I\). Soient \(x_1\lt x_2\) dans \(I\). Fixons \(\lambda \in ]0,1[\) et posons \(z:= (1-\lambda)x_1+\lambda x_2\).
Exemple: Prenons \(f(x)=x^2\) sur \(\mathbb{R}\). Comme \[f''(x)=2\gt 0\qquad \forall x\in \mathbb{R}\,,\] le théorème garantit que \(f\) est convexe.
Exemple: Prenons \(f(x)=e^x\) sur \(\mathbb{R}\). Puisque \[f''(x)=e^x\gt 0\qquad \forall x\in \mathbb{R}\,,\] le théorème garantit que \(f\) est convexe.
Exemple: Considérons maintenant \(f(x)=\log(x)\), sur \(\mathbb{R}_+^*\). Comme \[ f''(x)=-\frac{1}{x^2}\lt 0\qquad \forall x\in \mathbb{R}_+^*\,, \] le théorème entraîne que le logarithme est concave:
Exemple: Considérons le polynôme \(f(x)=x^4-x^2\), et étudions le signe de sa deuxième dérivée, donnée par \(f''(x)=2(6x^2-1)\):