Nous allons voir maintenant un outil puissant qui, lorsqu'il est bien utilisé,
permet d'étudier des indéterminations
qu'aucune des méthodes présentées jusqu'ici ne permettait d'aborder.
Malgré tout, cet outil a un prix: il ne s'applique que dans certaines situations
très particulières (voir les hypothèses ci-dessous), et sa
justification est délicate.
Théorème:(Règle de Bernoulli-l'Hôpital) Soient \(f,g:]a,b[\to \mathbb{R}\) dérivables , telles que
Commençons par traiter le cas où \(L=0\) et \(R\in \mathbb{R}\).
Fixons un \(x\in ]a,b[\) (que l'on fera ensuite \(\to a^+\)).
La règle de BH, si elle s'applique de part et d'autre d'un point \(a\), permet évidemment de calculer des limites \(x\to a\):
Exemple: Étudions la limite \[ \lim_{x\to 0}\frac{\sin (x)-x}{x^3} \] Clairement, \(f(x)=\sin(x)-x\) et \(g(x)=x^3\) satisfont aux hypothèses du théorème: toutes deux sont dérivables dans un voisinage de \(x=0\), ni \(g\) ni \(g'\) ne s'annulent dans un voisinage épointé de \(x=0\), et toutes deux tendent vers zéro lorsque \(x\to 0\). On peut alors étudier la limite du quotient des dérivées : \[ \lim_{x\to 0}\frac{f'(x)}{g'(x)}= \lim_{x\to 0}\frac{\cos (x)-1}{3x^2}=-\frac16 \] Comme cette limite existe et est finie, on peut conclure par le théorème que \[ \lim_{x\to 0}\frac{\sin (x)-x}{x^3}= \lim_{x\to 0}\frac{f(x)}{g(x)}= \lim_{x\to 0}\frac{f'(x)}{g'(x)}=-\frac16\,. \]
\(\bigstar\)
On n'utilise surtout pas la règle de BH
pour calculer des limites fondamentales, telles que
\[
\lim_{x\to 0}\frac{\sin(x)}{x}=1 \quad{\color{red}!!!}
\]
En effet si on voulait utiliser BH pour cette limite,
on devrait dériver le sinus:
\((\sin (x))'=\cos(x)\). Or si on relit la preuve de comment on montre que la
dérivée du sinus c'est le cosinus,
on se rend compte qu'elle repose sur la connaissance de ...
\(\lim_{x\to 0}\frac{\sin(x)}{x}\)!
Donc la limite ''\(\lim_{x\to 0}\frac{\sin(x)}{x}=1\)''
doit être considérée comme fondamentale, calculée
uniquement à partir de la définition de base du sinus, dans le cercle
trigonométrique.
Même si elle est formulée pour des indéterminations qui concernent des quotients, la règle de BH permet en fait de calculer des indéterminations de tous les types. Ceci se fait en récrivant la fonction dont ont aimerait calculer la limite, de façon a y faire apparaître un quotient.
Exemple: (Une indétermination ''\(0\cdot \infty\)'') \[\begin{aligned} \lim_{x\to 0^+}x\log(x) = \lim_{x\to 0^+}\frac{\log(x)}{\frac1x} &\stackrel{BH}{=} \lim_{x\to 0^+}\frac{\frac1x}{-\frac1{x^2}}\\ &=-\lim_{x\to 0^+}x=0\,. \end{aligned}\]
Exemple: (Une indétermination ''\(1^\infty\)'') \[\lim_{x\to +\infty}\Bigl(\frac{x}{x+2}\Bigr)^x\,.\] Puisque \(\frac{x}{x+2}>0\) pour tout \(x\) suffisamment grand et positif, on peut exponentier: \[ \Bigl(\frac{x}{x+2}\Bigr)^x =\exp\Bigl( x\log\bigl(\frac{x}{x+2}\bigr) \Bigr) \] Comme l'exponentielle est continue, on pourra rentrer la limite (une fois qu'on aura vérifié que la limite dans l'exposant existe): \[ \lim_{x\to +\infty} \bigl(\frac{x}{x+2}\bigr)^x =\exp\Bigl(\lim_{x\to +\infty} x\log\bigl(\frac{x}{x+2}\bigr) \Bigr) \] Étudions donc la limite à l'intérieur de l'exponentielle. En réarrangeant, on fait apparaître une limite ''\(\frac00\)'': \[\begin{aligned} \lim_{x\to +\infty} x\log\bigl(\frac{x}{x+2}\bigr) &=\lim_{x\to +\infty} \frac{\log(x)-\log(x+2)}{\frac1x} \\ &\stackrel{BH}{=}\lim_{x\to +\infty}\frac{\frac1x-\frac1{x+2}}{-\frac1{x^2}} \\ &=-2\lim_{x\to +\infty} \frac{x^2}{x(x+2)}=-2\,. \end{aligned}\] On a donc \[\lim_{x\to +\infty}\Bigl(\frac{x}{x+2}\Bigr)^x=\exp(-2)\,.\]
\(\bigstar\) Avant de se lancer corps et âme dans l'utilisation de la règle de BH, on a tout intérêt de s'arrêter un moment et se demander si elle est vraiment nécessaire, et surtout si ses hypothèses sont satisfaites...
Exemple:
Considérons
\[ \lim_{x\to 0}\frac{\sin(x^7)\cos(\sin(x^8))}{x^7}\,.\]
Numérateur et dénominateur
sont des fonctions dérivables , mais est-ce qu'on veut
vraiment se mettre à dériver le numérateur?
Or on voit que la composée \(\cos(\sin(x^8))\) a une
limite qui vaut \(1\) (différente de zéro), donc elle ne pose pas de problème,
on peut simplement la séparer du reste,
puis faire un changement de variable \(z=x^7\), pour obtenir
\[\begin{aligned}
\lim_{x\to 0}\frac{\sin(x^7)\cos(\sin(x^8))}{x^7}
&=
\underbrace{\bigl(\lim_{x\to 0}\cos(\sin(x^8))\bigr)}_{=1}
\Bigl(
\lim_{x\to 0}\frac{\sin(x^7)}{x^7}
\Bigr)\\
&=\lim_{z\to 0}\frac{\sin(z)}{z}=1\,.
\end{aligned}\]
Exemple: Considérons \[ \lim_{x\to \infty}\frac{x+\sin(x^2)}{3x} \] Cette limite est de la forme \(\lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{g(x)}\) et se calcule directement, en mettant en évidence le terme dominant au numérateur, \[ \lim_{x\to \infty}\frac{x+\sin(x^2)}{3x} = \lim_{x\to \infty}\frac{x(1+\frac{\sin(x^2)}{x})}{3x} = \lim_{x\to \infty}\left(\frac{1}{3}+\frac{\sin(x^2)}{3x}\right)=\frac13\,. \] Cette limite fournit un exemple de cas où numérateur et dénominateur sont tous les deux dérivables, mais le quotient \(\frac{f'(x)}{g'(x)}\) n'a pas de limite puisque \[ \frac{f'(x)}{g'(x)}= \frac{1+2x\cos(x^2)}{1}=1+2x\cos(x^2)\,, \] qui n'a pas de limite lorsque \(x\to \infty\). Donc la règle de BH ne s'applique pas.
L'idée utilisée dans ce dernier exemple permet de revenir sur quelque
chose que nous avons déjà rencontré dans le chapitre sur les suites, à savoir
la hiérarchie de comportements à l'infini
des polynômes, exponentielles et logarithmes.
On aura alors parfois besoin d'utiliser la règle de BH plus d'une fois:
Exemple: \[ \lim_{x\to \infty}\frac{x^2}{e^{3x}} \stackrel{BH}{=} \lim_{x\to \infty}\frac{2x}{3e^{3x}} \stackrel{BH}{=} \frac23 \lim_{x\to \infty}\frac{1}{3e^{3x}} =\frac{2}{9}\times 0=0\,. \]
Généralisons:
Lemme: Pour toute base \(a\gt 1\), tout \(\alpha \gt 0\) et tout \(m\gt 0\), \[ \lim_{x\to\infty} \frac{x^\alpha}{a^{mx}}=0\,,\qquad \lim_{x\to\infty} \frac{(\log_a(x))^\alpha}{x^m}=0\,. \]
Considérons la première limite. Deux remarques permettent de simplifier le calcul.