Une conséquence de l'unicité est qu'un développement limité d'ordre \(n\) donne automatiquement des développements limités d'ordres inférieurs:
En effet, pour tout \(k\lt n\), on peut réarranger le \(DL(n)\) comme suit: \[\begin{aligned} f(x)&=a_0+a_1(x-x_0)+\cdots+a_k(x-x_0)^k+\cdots +a_n(x-x_0)^n +(x-x_0)^n\varepsilon(x)\\ &=a_0+a_1(x-x_0)+\cdots+a_k(x-x_0)^k+ (x-x_0)^k \underbrace{\bigl(a_{k+1}(x-x_0)+\dots +(x-x_0)^{n-k} \varepsilon(x)\bigr)}_{=:\tilde \varepsilon(x)} \end{aligned}\] Comme \(\tilde\varepsilon(x)\to 0\) lorsque \(x\to x_0\), l'unicité du \(DL(k)\) implique bien que cette dernière ligne est le \(DL(k)\) de \(f\) autour de \(x_0\).
On peut ensuite obtenir des développements limités de sommes ou de produits de fonctions:
Lemme: Soient \(f,g\) définies au voisinage de \(x_0\), possédant chacune un \(DL(n)\): \[\begin{aligned} f(x)&={\small a_0+a_1(x-x_0)+a_2(x-x_0)^2+\dots+a_n(x-x_0)^n+\varepsilon(x)(x-x_0)^n\,,}\\ g(x)&={\small b_0+b_1(x-x_0)+b_2(x-x_0)^2+\dots+b_n(x-x_0)^n+\eta(x)(x-x_0)^n\,.} \end{aligned}\] Alors
1. En additionnant les deux \(DL(n)\) et en regroupant les termes
correspondants aux mêmes puissances, on a
\[\begin{aligned}
f(x)+g(x)=&
(a_0+b_0)\\
&+(a_1+b_1)(x-x_0)\\
&+\cdots\\
&+(a_n+b_n)(x-x_0)^n\\
&+\underbrace{(\varepsilon(x)+\eta(x))}_{=:\phi(x)}(x-x_0)^n\,.
\end{aligned}\]
Comme \(\lim_{x\to x_0}\phi(x)=0\), l'unicité du DL fait que
l'expresion ci-dessus est bien le \(DL(n)\) pour \(f+g\).
2. Considérons pous simplifier le cas \(n=2\). Et pour y voir clair, écrivons
les parties principales de manière plus compacte:
\[\begin{aligned}
f(x)&=p(x)+\varepsilon(x)(x-x_0)^2\,,\\
g(x)&=q(x)+\eta(x)(x-x_0)^2\,,
\end{aligned}\]
où
\[\begin{aligned}
p(x)&=a_0+a_1(x-x_0)+a_2(x-x_0)^2\\
q(x)&=b_0+b_1(x-x_0)+b_2(x-x_0)^2\,.
\end{aligned}\]
En multipliant les deux \(DL(2)\), et en regroupant, on obtient
\[\begin{aligned}
&f(x)g(x)\\
&=p(x)q(x)+
p(x)\eta(x)(x-x_0)^2+q(x)\varepsilon(x)(x-x_0)^2
+\varepsilon(x)\eta(x)(x-x_0)^4\\
&=p(x)q(x)+(x-x_0)^2\underbrace{
\bigl(p(x)\eta(x)+q(x)\varepsilon(x)
+\varepsilon(x)\eta(x)(x-x_0)^2\bigr)
}_{=:\psi_1(x)}\,,
\end{aligned}\]
où \(\psi_1(x)\to 0\) quand \(x\to x_0\). Ensuite, calculons explicitement
le produit des parties principales, et regroupons les puissances:
\[\begin{aligned}
p(x)q(x)&=a_0b_0\\
&+(a_0b_1+a_1b_0)(x-x_0)\\
&+(a_0b_2+a_1b_1+a_2b_0)(x-x_0)^2\\
&+\underbrace{(a_1b_2+a_2b_1)(x-x_0)^3+a_2b_2(x-x_0)^4}_{
=:\psi_2(x)(x-x_0)^2}\,,
\end{aligned}\]
où \(\psi_2(x)\to 0\) quand \(x\to x_0\).
On a donc, en posant \(\psi(x):= \psi_1(x)+\psi_2(x)\),
\[\begin{aligned}
f(x)g(x)&=a_0b_0\\
&+(a_0b_1+a_1b_0)(x-x_0)\\
&+(a_0b_2+a_1b_1+a_2b_0)(x-x_0)^2\\
&+\psi(x)(x-x_0)^2\,.
\end{aligned}\]
ce qui démontre la formule dans le cas où \(n=2\).
Le cas général se traite de façon similaire.
Exemple: Considérons \[ f(x)=\frac{e^x}{1-x}\qquad\text{ au voisinage de }x_0=0\,. \] On a déjà calculé plus haut les \(DL(2)\) de \(e^x\) et \(\frac{1}{1-x}\), \[\begin{aligned} e^x&=1+x+\frac12x^2+x^2\varepsilon(x)\,,\\ \frac{1}{1-x}&=1+x+x^2+x^2\eta(x)\,, \end{aligned}\] Donc, par le lemme précédent, \[\begin{aligned} e^x\cdot \frac{1}{1-x}&=(1\cdot 1)+(1\cdot 1+1\cdot 1)x+(1\cdot 1+1\cdot 1+\tfrac12 \cdot 1)x^2+x^2\psi(x)\\ &=1+2x+\tfrac52 x^2+x^2\psi(x)\,. \end{aligned}\]
Dernière compilation: 2024-10-05 (22:34:29)
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