Analyse 1 | S. Friedli (EPFL)

10.2 Définition et unicité

Un développement limité permet de représenter une fonction au voisinage d'un point $x_0$ , à l'aide d'un polynôme: $f(x)=\text{polynôme}(x)+R(x)\,.$ Le polynôme approximera bien la fonction dans le sens où la valeur du reste $R(x)$ doit être négligeable proche de $x_0$ , dans un sens très précis:

Soit

f

définie au voisinage de

x_0

. On appelle développement limité d'ordre $n$ de $f$ autour de $x_0$ une représentation de

f(x)

de la forme

{\small f(x)=a_0+a_1(x-x_0)+a_2(x-x_0)^2+\dots+a_n(x-x_0)^n+R(x)\,, }

où

les $a_0,a_1,a_2,\dots,a_n\in \mathbb{R}$ sont des coefficients (constants), et le polynôme $p(x)=a_0+a_1(x-x_0)+a_2(x-x_0)^2+\dots+a_n(x-x_0)^n$ est appelé partie principale du développement, et
le reste $R(x)$ est de la forme $R(x)= (x-x_0)^n\varepsilon(x)\,,$ où $\varepsilon(x)$ est une fonction définie dans un voisinage épointé de $x_0$ , telle que $\lim_{x\to x_0}\varepsilon(x)=0\,.$

Remarque:

Remarquons que dans le cas $n=1$ , la partie principale n'est autre que la droite tangente en $x_0$ , et dans le reste $R(x)=(x-x_0)\varepsilon(x)$ , la fonction $\varepsilon(x)$ représente $r_{x_0}(x)$ : $f(x)=\underbrace{f(x_0)}_{=a_0}+\underbrace{f'(x_0)}_{=a_1}(x-x_0) +\underbrace{(x-x_0)r_{x_0}(x)}_{=R(x)}$
On évitera de trop alourdir l'écriture, en omettant d'indiquer la dépendance de $R(x)$ et $\varepsilon(x)$ en $f$ , $n$ , et $x_0$ (une notation plus précise serait $R_{f,x_0,n}(x)$ , $\varepsilon_{f,x_0,n}(x)$ ).
Il est important, la plupart du temps, de souligner que plus $x$ est proche de $x_0$ , plus le reste devient négligeable par rapport à la partie principale! Plus précisément, le reste est toujours plus petit que le terme de la partie principale de plus grand degré. En effet, pour tout $k=0,1,2,\dots,n$ , $\lim_{x\to x_0}\frac{R(x)}{(x-x_0)^k}= \lim_{x\to x_0}(x-x_0)^{n-k}\varepsilon(x)=0\,.$ C'est pour cette raison que la partie principale fournit une bonne approximation de la fonction au voisinage de $x_0$ .
Dans la suite, pour abbréger ''développement limité d'ordre $n$ '', on écrira simplement '' $DL(n)$ ''.

La façon très précise dont le $DL(n)$ a été défini a une première conséquence importante: lorsqu'il existe, il est unique.

Lemme: Si $f$ possède un $DL(n)$ autour de $x_0$ , alors la fonction $\varepsilon(x)$ et les coefficients $a_0,a_1,\dots,a_n$ sont uniques.

Supposons que $f$ possède un $DL(n)$ en $x_0$ : ${\small f(x)=a_0+a_1(x-x_0)+a_2(x-x_0)^2+\dots+a_n(x-x_0)^n+(x-x_0)^n\varepsilon(x)\,. }$ Montrons que l'on peut calculer un à un chacun des coefficients, et qu'ils dépendent tous uniquement de $f$ et de $x_0$ .

Pour commencer, en prenant $x\to x_0$ des deux côtés de l'expression, on obtient que $\lim_{x\to x_0}f(x_0)=a_0$ , donc $a_0$ est fixé. Ensuite, remarquons que $\begin{aligned} \lim_{x\to x_0}&\frac{f(x)-a_0}{x-x_0}\\ =&\lim_{x\to x_0}\bigl(a_1+\underbrace{a_2(x-x_0)+\cdots +a_n(x-x_0)^{n-1}+(x-x_0)^{n-1}\varepsilon(x)}_{\to 0}\bigr)\\ =&a_1\,, \end{aligned}$ donc $a_1$ est fixé. Par récurrence, on voit que si $a_0,a_1,\dots,a_k$ sont connus, alors $a_{k+1}$ est fixé par $a_{k+1}=\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-\bigl\{a_0+a_1(x-x_0)+\cdots +a_k(x-x_0)^k\bigr\}}{(x-x_0)^{k+1}}$ Ceci montre que les coefficients sont uniques.

Une fois qu'on a les coefficients, on peut simplement exprimer $\varepsilon(x)$ , $\varepsilon(x)= \frac{f(x)-\bigl\{a_0+a_1(x-x_0)+\cdots +a_n(x-x_0)^n\bigr\}}{(x-x_0)^n}\,.$ (Donc le reste, est une fonction en général compliquée, mais que l'on peut toujours exprimer explicitement à l'aide de $f(x)$ et de la partie principale.)

On utilisera ce dernier résultat souvent dans ce qui suit: dès que l'on peut écrire une fonction

f

, au voisinage d'un point

x_0

, comme

f(x)=a_0+a_1(x-x_0)+\cdots +a_n(x-x_0)^n+\varepsilon(x)(x-x_0)^n\,,

où

\lim_{x\to x_0}\varepsilon(x)=0

, c'est qu'on a trouvé le (

=

l'unique)

DL(n)

de

f

autour de

x_0

.

Exemple: Reprenons $f(x)=e^x$ au voisinage de $x_0=0$ . On sait que $e^x=1+x+x\varepsilon(x)\,,$ avec $\varepsilon(x)\to 0$ lorsque $x\to 0$ . Ceci représente un $DL(1)$ en $x_0=0$ .

Montrons maintenant que cette fonction possède un $DL(2)$ en $0$ , donné par $e^x=1+x+\frac{1}{2}x^2+x^2\varepsilon(x)\,.$ (Attention: la fonction $\varepsilon(x)$ , ici, n'est pas la même que celle de la ligne précédente!) Pour ce faire exprimons, explicitement en fonction de $x$ , $\varepsilon(x)=\frac{e^{x}-\{1+x+\frac{x^2}{2}\}}{x^2}\,$ (cette fonction est effectivement définie dans un voisinage épointé de $x_0=0$ ), et calculons $\begin{aligned} \lim_{x\to 0}\varepsilon(x) &=\lim_{x\to 0}\frac{e^{x}-\bigl\{1+x+\frac12 x^2\bigr\}}{x^2}\\ &\stackrel{BH}{=}\lim_{x\to 0}\frac{e^{x}-\bigl\{1+x\bigr\}}{2x}\\ &\stackrel{BH}{=}\lim_{x\to 0}\frac{e^{x}-\bigl\{1\bigr\}}{2}\\ &=0\,. \end{aligned}$ Par le théorème d'unicité, ceci implique que l'expression ci-dessus est bien le $DL(2)$ .

Visualiser les développements limités pour

e^x

00:00

Exemple: Considérons $f(x)=\frac{1}{1-x}$ , dans un voisinage de $x=0$ . Rappelons la formule obtenue pour une somme géométrique: pour tout $x\neq 1$ , $1+x+x^2+x^3+\cdots+ x^n=\frac{1-x^{n+1}}{1-x}=\frac{1}{1-x}-\frac{x^{n+1}}{1-x}\,,$ qui permet d'écrire $\frac{1}{1-x}=\underbrace{1+x+x^2+\dots+x^n}_{\text{principale}} +x^n\underbrace{\frac{x}{1-x}}_{=:\varepsilon(x)}$ Puisque $\lim_{x\to 0}\varepsilon(x)=0$ , cette expression est bien le $DL(n)$ de $f$ autour de zéro.

0,0

\text{ partie principale et reste}

n=1

0,0

x

p(x)

R(x)

Quiz 10.2-1 : Soit

I

un ouvert,

f:I\to \mathbb{R}

, et

x_0\in I

. Vrai ou faux?

Si $f$ possède un $DL(n)$ en $x_0$ , alors il existe des coefficients réels $a_0,a_1,\dots,a_n$ , avec $a_n\neq 0$ , tels que $f(x)=a_0+a_1(x-x_0)+a_2(x-x_0)^2+\cdots +a_n(x-x_0)^n$ pour tout $x\in I$ .
Si $f$ est dérivable en $x_0$ , alors elle possède un $DL(1)$ en $x_0$ .
Si $f$ possède un $DL(n)$ en $x_0$ , alors $f$ est continue en $x_0$ .
Si $f$ possède un $DL(n)$ en $x_0$ , alors $f$ est dérivable en $x_0$ .
Si $f$ possède un $DL(n)$ en $x_0$ , alors $f$ possède un $DL(n+1)$ en $x_0$ .
Si $f$ possède un $DL(n)$ en $x_0$ , alors il existe un polynôme $p(x)$ et $\delta\gt 0$ tels que $f(x)=p(x)$ pour tout $x\in ]x_0-\delta,x_0+\delta[$ .
Si $f$ possède un $DL(n)$ en $x_0$ , alors il existe $\delta\gt 0$ tel que $f$ est dérivable en tout point $x\in ]x_0-\delta,x_0+\delta[$ .
Si $f$ possède un $DL(2)$ en $x_0$ , alors $f$ est deux fois dérivable en $x_0$ .
Si $f$ possède un $DL(n)$ en $x_0$ , alors elle possède un $DL(k)$ en $x_0$ , pour tout entier $1\leqslant k\lt n$ .
Si $g:I\to \mathbb{R}$ , et si $f$ et $g$ possèdent chacune un $DL(n)$ en $x_0$ , dont les parties principales sont égales, alors il existe $\delta\gt 0$ tel que $f(x)=g(x)$ pour tout $x\in ]x_0-\delta,x_0+\delta[$ .