Analyse 1 | S. Friedli (EPFL)

10.2 Définition et unicité

Un développement limité permet de représenter une fonction au voisinage d'un point \(x_0\), à l'aide d'un polynôme: \[ f(x)=\text{polynôme}(x)+R(x)\,. \] Le polynôme approximera bien la fonction dans le sens où la valeur du reste \(R(x)\) doit être négligeable proche de \(x_0\), dans un sens très précis:

Soit \(f\) définie au voisinage de \(x_0\). On appelle développement limité d'ordre \(n\) de \(f\) autour de \(x_0\) une représentation de \(f(x)\) de la forme \[{\small f(x)=a_0+a_1(x-x_0)+a_2(x-x_0)^2+\dots+a_n(x-x_0)^n+R(x)\,, } \] où

les \(a_0,a_1,a_2,\dots,a_n\in \mathbb{R}\) sont des coefficients (constants), et le polynôme \[p(x)=a_0+a_1(x-x_0)+a_2(x-x_0)^2+\dots+a_n(x-x_0)^n\] est appelé partie principale du développement, et
le reste \(R(x)\) est de la forme \[R(x)= (x-x_0)^n\varepsilon(x)\,,\] où \(\varepsilon(x)\) est une fonction définie dans un voisinage épointé de \(x_0\), telle que \[\lim_{x\to x_0}\varepsilon(x)=0\,.\]

Remarque:

Remarquons que dans le cas \(n=1\), la partie principale n'est autre que la droite tangente en \(x_0\), et dans le reste \(R(x)=(x-x_0)\varepsilon(x)\), la fonction \(\varepsilon(x)\) représente \(r_{x_0}(x)\): \[ f(x)=\underbrace{f(x_0)}_{=a_0}+\underbrace{f'(x_0)}_{=a_1}(x-x_0) +\underbrace{(x-x_0)r_{x_0}(x)}_{=R(x)} \]
On évitera de trop alourdir l'écriture, en omettant d'indiquer la dépendance de \(R(x)\) et \(\varepsilon(x)\) en \(f\), \(n\), et \(x_0\) (une notation plus précise serait \(R_{f,x_0,n}(x)\), \(\varepsilon_{f,x_0,n}(x)\)).
Il est important, la plupart du temps, de souligner que plus \(x\) est proche de \(x_0\), plus le reste devient négligeable par rapport à la partie principale! Plus précisément, le reste est toujours plus petit que le terme de la partie principale de plus grand degré. En effet, pour tout \(k=0,1,2,\dots,n\), \[ \lim_{x\to x_0}\frac{R(x)}{(x-x_0)^k}= \lim_{x\to x_0}(x-x_0)^{n-k}\varepsilon(x)=0\,. \] C'est pour cette raison que la partie principale fournit une bonne approximation de la fonction au voisinage de \(x_0\).
Dans la suite, pour abbréger ''développement limité d'ordre \(n\)'', on écrira simplement ''\(DL(n)\)''.

La façon très précise dont le \(DL(n)\) a été défini a une première conséquence importante: lorsqu'il existe, il est unique.

Lemme: Si \(f\) possède un \(DL(n)\) autour de \(x_0\), alors la fonction \(\varepsilon(x)\) et les coefficients \(a_0,a_1,\dots,a_n\) sont uniques.

Supposons que \(f\) possède un \(DL(n)\) en \(x_0\): \[{\small f(x)=a_0+a_1(x-x_0)+a_2(x-x_0)^2+\dots+a_n(x-x_0)^n+(x-x_0)^n\varepsilon(x)\,. } \] Montrons que l'on peut calculer un à un chacun des coefficients, et qu'ils dépendent tous uniquement de \(f\) et de \(x_0\).

Pour commencer, en prenant \(x\to x_0\) des deux côtés de l'expression, on obtient que \(\lim_{x\to x_0}f(x_0)=a_0\), donc \(a_0\) est fixé. Ensuite, remarquons que \[\begin{aligned} \lim_{x\to x_0}&\frac{f(x)-a_0}{x-x_0}\\ =&\lim_{x\to x_0}\bigl(a_1+\underbrace{a_2(x-x_0)+\cdots +a_n(x-x_0)^{n-1}+(x-x_0)^{n-1}\varepsilon(x)}_{\to 0}\bigr)\\ =&a_1\,, \end{aligned}\] donc \(a_1\) est fixé. Par récurrence, on voit que si \(a_0,a_1,\dots,a_k\) sont connus, alors \(a_{k+1}\) est fixé par \[ a_{k+1}=\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-\bigl\{a_0+a_1(x-x_0)+\cdots +a_k(x-x_0)^k\bigr\}}{(x-x_0)^{k+1}} \] Ceci montre que les coefficients sont uniques.

Une fois qu'on a les coefficients, on peut simplement exprimer \(\varepsilon(x)\), \[ \varepsilon(x)= \frac{f(x)-\bigl\{a_0+a_1(x-x_0)+\cdots +a_n(x-x_0)^n\bigr\}}{(x-x_0)^n}\,. \] (Donc le reste, est une fonction en général compliquée, mais que l'on peut toujours exprimer explicitement à l'aide de \(f(x)\) et de la partie principale.)

On utilisera ce dernier résultat souvent dans ce qui suit: dès que l'on peut écrire une fonction \(f\), au voisinage d'un point \(x_0\), comme \[ f(x)=a_0+a_1(x-x_0)+\cdots +a_n(x-x_0)^n+\varepsilon(x)(x-x_0)^n\,, \] où \(\lim_{x\to x_0}\varepsilon(x)=0\), c'est qu'on a trouvé le ( \(=\) l'unique) \(DL(n)\) de \(f\) autour de \(x_0\).

Exemple: Reprenons \(f(x)=e^x\) au voisinage de \(x_0=0\). On sait que \[ e^x=1+x+x\varepsilon(x)\,, \] avec \(\varepsilon(x)\to 0\) lorsque \(x\to 0\). Ceci représente un \(DL(1)\) en \(x_0=0\).

Montrons maintenant que cette fonction possède un \(DL(2)\) en \(0\), donné par \[ e^x=1+x+\frac{1}{2}x^2+x^2\varepsilon(x)\,. \] (Attention: la fonction \(\varepsilon(x)\), ici, n'est pas la même que celle de la ligne précédente!) Pour ce faire exprimons, explicitement en fonction de \(x\), \[ \varepsilon(x)=\frac{e^{x}-\{1+x+\frac{x^2}{2}\}}{x^2}\, \] (cette fonction est effectivement définie dans un voisinage épointé de \(x_0=0\)), et calculons \[\begin{aligned} \lim_{x\to 0}\varepsilon(x) &=\lim_{x\to 0}\frac{e^{x}-\bigl\{1+x+\frac12 x^2\bigr\}}{x^2}\\ &\stackrel{BH}{=}\lim_{x\to 0}\frac{e^{x}-\bigl\{1+x\bigr\}}{2x}\\ &\stackrel{BH}{=}\lim_{x\to 0}\frac{e^{x}-\bigl\{1\bigr\}}{2}\\ &=0\,. \end{aligned}\] Par le théorème d'unicité, ceci implique que l'expression ci-dessus est bien le \(DL(2)\).

Visualiser les développements limités pour \(e^x\)

Exemple: Considérons \(f(x)=\frac{1}{1-x}\), dans un voisinage de \(x=0\). Rappelons la formule obtenue pour une somme géométrique: pour tout \(x\neq 1\), \[ 1+x+x^2+x^3+\cdots+ x^n=\frac{1-x^{n+1}}{1-x}=\frac{1}{1-x}-\frac{x^{n+1}}{1-x}\,, \] qui permet d'écrire \[ \frac{1}{1-x}=\underbrace{1+x+x^2+\dots+x^n}_{\text{principale}} +x^n\underbrace{\frac{x}{1-x}}_{=:\varepsilon(x)} \] Puisque \(\lim_{x\to 0}\varepsilon(x)=0\), cette expression est bien le \(DL(n)\) de \(f\) autour de zéro.

Quiz 10.2-1 : Soit \(I\) un ouvert, \(f:I\to \mathbb{R}\), et \(x_0\in I\). Vrai ou faux?

Si \(f\) possède un \(DL(n)\) en \(x_0\), alors il existe des coefficients réels \(a_0,a_1,\dots,a_n\), avec \(a_n\neq 0\), tels que \[f(x)=a_0+a_1(x-x_0)+a_2(x-x_0)^2+\cdots +a_n(x-x_0)^n\] pour tout \(x\in I\).
Si \(f\) est dérivable en \(x_0\), alors elle possède un \(DL(1)\) en \(x_0\).
Si \(f\) possède un \(DL(n)\) en \(x_0\), alors \(f\) est continue en \(x_0\).
Si \(f\) possède un \(DL(n)\) en \(x_0\), alors \(f\) est dérivable en \(x_0\).
Si \(f\) possède un \(DL(n)\) en \(x_0\), alors \(f\) possède un \(DL(n+1)\) en \(x_0\).
Si \(f\) possède un \(DL(n)\) en \(x_0\), alors il existe un polynôme \(p(x)\) et \(\delta\gt 0\) tels que \(f(x)=p(x)\) pour tout \(x\in ]x_0-\delta,x_0+\delta[\).
Si \(f\) possède un \(DL(n)\) en \(x_0\), alors il existe \(\delta\gt 0\) tel que \(f\) est dérivable en tout point \(x\in ]x_0-\delta,x_0+\delta[\).
Si \(f\) possède un \(DL(2)\) en \(x_0\), alors \(f\) est deux fois dérivable en \(x_0\).
Si \(f\) possède un \(DL(n)\) en \(x_0\), alors elle possède un \(DL(k)\) en \(x_0\), pour tout entier \(1\leqslant k\lt n\).
Si \(g:I\to \mathbb{R}\), et si \(f\) et \(g\) possèdent chacune un \(DL(n)\) en \(x_0\), dont les parties principales sont égales, alors il existe \(\delta\gt 0\) tel que \(f(x)=g(x)\) pour tout \(x\in ]x_0-\delta,x_0+\delta[\).