Séance Contact 12, Lundi 11 déc
Communications:
Aujourd'hui:

Exercice : Calculer \[ \lim_{x\to \infty}\bigl(\sqrt[3]{x^3+3x^2+1}-\sqrt[3]{x^3+1}\bigr)^x \] Indication: utiliser un \(DL(3)\) autour de \(u_0=0\) pour \(\sqrt[3]{1+u}\).

En multipliant et divisant par le conjugué \(a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)\), on peut vérifier que \[ \lim_{x\to+\infty} \bigl(\sqrt[3]{x^3+3x^2+1}-\sqrt[3]{x^3+1}\bigr) =1\,, \] ce qui signifie que la limite demandée est une indétermination ''\(1^\infty\)''. En mettant \(x^3\) en évidence dans chacune des racines, \[ \sqrt[3]{x^3+3x^2+1}-\sqrt[3]{x^3+1} =x\left(\sqrt[3]{1+\frac{3}{x}+\frac{1}{x^3}}-\sqrt[3]{1+\frac{1}{x^3}}\right) \] On utilise des développements limités pour quantifier la petitesse de la différence de racines. On peut commencer par calculer le \(DL(2)\), autour de \(u=0\), \[ \sqrt[3]{1+u}=1+\frac{u}{3}-\frac{u^2}{9}+u^2\varepsilon(u)\,, \] avec \(\lim_{u\to 0}\varepsilon(u)=0\). En utilisant deux fois ce développement, une fois avec \(u=\frac{3}{x}+\frac{1}{x^3}\) et une fois avec \(u=\frac{1}{x^3}\), on trouve après simplification: \[ \sqrt[3]{1+\frac{3}{x}+\frac{1}{x^3}}-\sqrt[3]{1+\frac{1}{x^3}} = \frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}+\frac{\varphi(x)}{x^2}\,, \] où \(\lim_{x\to \infty}\varphi(x)=0\).

On peut donc tout mettre ensemble: \[\begin{aligned} \bigl(\sqrt[3]{x^3+3x^2+1}-\sqrt[3]{x^3+1}\bigr)^x &=\left(x\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}+\frac{\varphi(x)}{x^2}\right)\right)^x\\ &=\left(1-\frac{1-\varphi(x)}{x}\right)^x\\ &\to e^{-1} \end{aligned}\]



Exercice 2: Le coefficient \(a_n\) dans le \(DL(n)\) de \(\displaystyle f(x)=\frac{1}{a+bx}\) (\(a,b\ne 0\)) autour de \(x_0=0\) est

La bonne réponse est la deuxième.

En effet, puisque \(f\) est infiniment dérivable dans un voisinage de \(x_0=0\), la formule de Taylor assure que \[ a_n=\frac{f^{(n)}(0)}{n!} \] Or on vérifie que \[ f^{(n)}(x)=(-1)^nn!(a+bx)^{-(n+1)}b^n\,, \] donc \[ a_n=\frac{f^{(n)}(0)}{n!} =\frac{(-1)^nn!(a+b0)^{-(n+1)}b^n}{n!} =(-1)^n a^{-(n+1)}b^n \]



Exercice 3: Le rayon de convergence de la série entière \[ f(x)=\sum_{i=1}^\infty (a^n+b^n)x^n\,, \] avec \(a,b \gt 0\), est donné par

La bonne réponse est la quatrième.



Exercice 4: Calculer, pour tout \(x\gt 0\), \[ \lim_{n\to \infty}n(\sqrt[n]{x}-1)\,. \]

La limite est une indétermination ''\(\infty\cdot 0\)''.

On sait qu'autour de \(u_0=0\), \[ e^u=1+u+\frac{u^2}{2}+u^2\varepsilon(u)\,, \] donc \[\begin{aligned} n(\sqrt[n]{x}-1) &=n( e^{\frac{\log(x)}{n}}-1)\\ &=n\left(\left(1+\frac{\log(x)}{n}+\frac{(\log(x))^2}{2n^2} +\frac{\varphi(n)}{n^2}\right)-1\right)\\ &=\log(x)+\frac{(\log(x))^2}{2n}+\frac{\varphi(n)}{n} \end{aligned}\] où \(\varphi(n)\to 0\) lorsque \(n\to \infty\). Donc \[ \lim_{n\to\infty} n(\sqrt[n]{x}-1) =\log(x) \]

Remarque: Un \(DL(1)\) aurait suffi.

Remarque: L'un de vous m'a fait remarquer qu'on peut faire quelque chose de beaucoup plus simple: \[\begin{aligned} \lim_{n\to\infty} n(\sqrt[n]{x}-1) &= \lim_{n\to\infty} n(e^{\frac{\log(x)}{n}}-1)\\ &=\lim_{n\to\infty} \frac{e^{\frac{\log(x)}{n}}-1}{\frac{1}{n}}\\ &=\log(x)\lim_{n\to\infty} \frac{e^{\frac{\log(x)}{n}}-1}{\frac{\log(x)}{n}}\\ &=\log(x)\lim_{y\to 0} \frac{e^{y}-1}{y}\\ &=\log(x) \end{aligned}\]