En multipliant et divisant par le conjugué \(a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)\),
on peut vérifier que
\[ \lim_{x\to+\infty}
\bigl(\sqrt[3]{x^3+3x^2+1}-\sqrt[3]{x^3+1}\bigr)
=1\,,
\]
ce qui signifie que la limite demandée est une indétermination ''\(1^\infty\)''.
En mettant \(x^3\) en évidence dans chacune des racines,
\[
\sqrt[3]{x^3+3x^2+1}-\sqrt[3]{x^3+1}
=x\left(\sqrt[3]{1+\frac{3}{x}+\frac{1}{x^3}}-\sqrt[3]{1+\frac{1}{x^3}}\right)
\]
On utilise des développements limités pour quantifier la petitesse de
la différence de racines.
On peut commencer par calculer le \(DL(2)\), autour de \(u=0\),
\[ \sqrt[3]{1+u}=1+\frac{u}{3}-\frac{u^2}{9}+u^2\varepsilon(u)\,,
\]
avec \(\lim_{u\to 0}\varepsilon(u)=0\). En utilisant deux fois ce développement,
une fois avec \(u=\frac{3}{x}+\frac{1}{x^3}\) et une fois avec
\(u=\frac{1}{x^3}\), on trouve après simplification:
\[
\sqrt[3]{1+\frac{3}{x}+\frac{1}{x^3}}-\sqrt[3]{1+\frac{1}{x^3}}
=
\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}+\frac{\varphi(x)}{x^2}\,,
\]
où \(\lim_{x\to \infty}\varphi(x)=0\).
On peut donc tout mettre ensemble:
\[\begin{aligned}
\bigl(\sqrt[3]{x^3+3x^2+1}-\sqrt[3]{x^3+1}\bigr)^x
&=\left(x\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}+\frac{\varphi(x)}{x^2}\right)\right)^x\\
&=\left(1-\frac{1-\varphi(x)}{x}\right)^x\\
&\to e^{-1}
\end{aligned}\]
La bonne réponse est la deuxième.
En effet, puisque \(f\) est
infiniment dérivable dans un voisinage de \(x_0=0\), la
formule de Taylor assure que
\[ a_n=\frac{f^{(n)}(0)}{n!}
\]
Or on vérifie que
\[
f^{(n)}(x)=(-1)^nn!(a+bx)^{-(n+1)}b^n\,,
\]
donc
\[ a_n=\frac{f^{(n)}(0)}{n!}
=\frac{(-1)^nn!(a+b0)^{-(n+1)}b^n}{n!}
=(-1)^n a^{-(n+1)}b^n
\]
La bonne réponse est la quatrième.
La limite est une indétermination ''\(\infty\cdot 0\)''.
On sait qu'autour de \(u_0=0\),
\[ e^u=1+u+\frac{u^2}{2}+u^2\varepsilon(u)\,,
\]
donc
\[\begin{aligned}
n(\sqrt[n]{x}-1)
&=n( e^{\frac{\log(x)}{n}}-1)\\
&=n\left(\left(1+\frac{\log(x)}{n}+\frac{(\log(x))^2}{2n^2}
+\frac{\varphi(n)}{n^2}\right)-1\right)\\
&=\log(x)+\frac{(\log(x))^2}{2n}+\frac{\varphi(n)}{n}
\end{aligned}\]
où \(\varphi(n)\to 0\) lorsque \(n\to \infty\).
Donc
\[
\lim_{n\to\infty} n(\sqrt[n]{x}-1)
=\log(x)
\]
Remarque: Un \(DL(1)\) aurait suffi.
Remarque: L'un de vous m'a fait remarquer qu'on peut faire quelque chose de beaucoup plus simple: \[\begin{aligned} \lim_{n\to\infty} n(\sqrt[n]{x}-1) &= \lim_{n\to\infty} n(e^{\frac{\log(x)}{n}}-1)\\ &=\lim_{n\to\infty} \frac{e^{\frac{\log(x)}{n}}-1}{\frac{1}{n}}\\ &=\log(x)\lim_{n\to\infty} \frac{e^{\frac{\log(x)}{n}}-1}{\frac{\log(x)}{n}}\\ &=\log(x)\lim_{y\to 0} \frac{e^{y}-1}{y}\\ &=\log(x) \end{aligned}\]