Séance Contact 10, Lundi 27 nov
Communications:
Aujourd'hui:
(questions sur les exercices corrigés?)
Exercice 1:
(Exercice à rendre, 2022)
Soit \(f\colon ]-1,1[\setminus\{0\}\to\mathbb{R}\) définie par
\[
f(x)=
\frac{\sqrt{4+x}-2}{x}\qquad x\neq 0\,.
\]
-
Montrer que \(f\) peut être prolongée par continuité en \(x_0=0\), et donner sa
prolongée \(\widetilde{f}\colon ]-1,1[\to\mathbb{R}\) explicitement.
- Montrer que \(\widetilde{f}\) est dérivable sur \(]-1,1[\).
- Montrer que \(\widetilde{f}\in C^1(]-1,1[)\).
Exercice 2: Calculer la limite
\[
\lim_{n\to \infty}
\frac{(2+\frac{\pi}{n})^{1/\sqrt{2}}-2^{1/\sqrt{2}}}{1/n}
\]
Exercice 3:
Soit, pour tout entier \(n\geqslant 1\), la fonction \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) définie par
\[
f_n(x):=e^{-x^2}\frac{d^n}{dx^n}e^{x^2}\qquad (x\in \mathbb{R})
\]
(Notation: \(\frac{d^n }{dx^n}f=f^{(n)}\).)
Montrer, par récurrence sur \(n\), que \(f_n(x)\) est un polynôme en \(x\).
Exercice 4:
Calculer
\[
\lim_{x\to 1^-}\frac{\frac{\pi}{2}-\arcsin(x)}{\sqrt{1-x}}
\]
