Séance Contact 09, Lundi 20 nov
Communications:
- Désolé pour le retard et la vidéo de vendredi, coquille à 1:17:15.
- Dans l'Exercice 09-07, quelques changements, en gras.
- Cette semaine: deuxième exercice corrigé.
- Speakup:
https://web.speakup.info/room/join/34465.
Aujourd'hui:
Exercice 1:
Soit \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) une fonction telle que \(f(x)^2=1\)
pour tout \(x\in \mathbb{R}\). Montrer que si \(f\) est continue, alors
soit \(f(x)=+1\) pour tout \(x\in\mathbb{R}\),
soit \(f(x)=-1\) pour tout \(x\in\mathbb{R}\).
Exercice 2:
Soit \(f:[0,4]\to\mathbb{R}\) une fonction continue non-constante, telle que \(f(0)=f(4)\).
Montrer qu'il existe \(\widetilde{x}\in [0,2]\) tel que
\[f(\widetilde{x})=f(\widetilde{x}+2)\,.\]
Exercice 3:
Montrer qu'il existe \(x\gt 0\) tel que
\[
\frac{1}{1+x^2}=\sqrt{x}\,.
\]
Exercice 4:
Soit \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) définie par
\[f(x)=
\begin{cases}
x+(e^{x^3}-1)\sin(\tfrac{10}{x})& x\neq 0\,,\\
0 & x=0\,.
\end{cases}
\]
- Est-ce que \(f\) est dérivable en \(x_0=0\)?
- Est-ce que \(f\) est continûment dérivable en \(x_0=0\)?
