Séance Contact 06, Lundi 30 oct
Communications:
- Navré pour les problèmes d'upload sur Moodle. Vous pouvez encore m'envoyer
vos fichiers ce matin (lundi).
- À propos de la suite du programme.
- À propos des séries et de la question d'hier sur moodle:
- Pour vos demandes/suggestions aujourd'hui, utilisons
Speakup:
https://web.speakup.info/room/join/34465.
Aujourd'hui:
Exercice 1:
Étudier la convergence de la série \(\sum_{n\geqslant 1}x_n\), où
\[
x_n=
\begin{cases}
\frac{1}{n^2}&\text{ si n est pair,}\\
-\frac{1}{n}&\text{ si n est impair.}
\end{cases}
\]
Exercice 2:
Si \(0\lt c\lt 1\), montrer que la série
\[ 1+2c+3c^2+4c^3+\cdots
\]
converge et calculer sa valeur.
(Indication: Considérer une somme partielle \(s_n\), et calculer \(cs_n-s_n\).)
Exercice 3:
Étudier la série \(\displaystyle\sum_{n\geqslant 2}
\frac{1}{\log(n^{13})}\).
Exercice 4:
Montrer que
\[\sum_{n\geqslant 1}
\frac{1}{n^2}
=\frac43\sum_{n\geqslant 1}\frac{1}{(2n-1)^2}\,.
\]
Exercice 5:
Soit \(\sum_na_n\) une série qui converge mais pas absolument (on appelle une
telle suite conditionnellement convergente.
Montrer que la suite du terme général, \((a_n)\), contient une
infinité de termes positifs, et une infinité de termes négatifs.