En ligne pour répondre à vos questions: Abir et
Thomas.
Aujourd'hui:
Remarque sur la notion de supremum.
Exercice 1:
Soit \(G\) le même ensemble que celui de l'Exercice 02-03:
\[
G=\left\{\frac{n(-1)^n}{n+1}\,:\,n\in \mathbb{N}\right\}\,.
\]
Calculer \(\inf G\) et \(\sup G\) (uniquement à partir des définitions
d'infimum/supremum).
Quiz :
(2017)
Soit \(A\subset \mathbb{R}\) un ensemble borné et soit \(s=\sup A\). Alors pour tout
\(\varepsilon \gt 0\), il existe un \(x\in A\) tel que \(x+\varepsilon \geqslant s\).
Vrai ou faux?
VRAI
FAUX
Quiz :
(2018)
Soient \(A\subset \mathbb{R}\), \(B\subset \mathbb{R}\), deux ensembles bornés tels que
\(A\cap B\neq \varnothing\). Alors \(\inf(A)\leqslant \inf(A\cap B)\).
VRAI
FAUX
Quiz :
(2017)
Soit \(\displaystyle E=\left\{\sin\left(\frac{\pi
n}{4}\right)-\sin\left(\frac{\pi}{4n}\right)\,:\,n\in \mathbb{N}^*\right\}\).
\(\inf E=-\frac{\sqrt{2}}{2}\)
\(\inf E=0\)
\(\inf E=-1\)
\(\inf E=-1-\sin(\frac{\pi}{24})\)
Quiz :
(2020)
Soit \(A\subset \mathbb{R}\) un ensemble contenant une infinité de points.
Si \(\inf A\in A\) et \(\sup A\in A\), alors \(A\) est un
intervalle fermé.
VRAI
FAUX
Quiz :
Soit \(A\subset \mathbb{R}\) un ensemble majoré, et soit \(B=\{M\in\mathbb{R}\,:\,M\text{
majore }A\}\). Alors \(\inf B\in B\).
VRAI
FAUX
Quiz :
(2018)
Soit \(\displaystyle A=\left\{x\in\mathbb{R}_+^*\,:\,\cos\left(\frac{1}{x}\right)\gt
0\right\}\). Alors