On commence par remarquer que \(g(x)=\sqrt{2+x}\) ne possède qu'un seul point fixe \(x_*=2\) (puisque la relation \(\sqrt{2+x}=x\), qui n'est possible que si \(x\geqslant 0\), ne possède que la solution \(x=2\)).

1. Si \(-2\leqslant x_0\lt 2\), alors \((x_n)\) est croissante et converge vers \(2\).
2. Si \(x_0\gt 2\), alors \((x_n)\) est décroissante et converge vers \(2\).

1. Cas \(-2\leqslant x_0\lt 2\): Montrons pour commencer que cette condition initiale implique que \[ -2\leqslant x_n\leqslant 2\qquad \forall n\geqslant 0\,. \] En effet, ces inégalitées sont vraies pour \(n=0\). Si elles sont vraies pour un certain \(n\), alors \(-2\leqslant x_n\leqslant 2\), qui entraîne \[ 0\leqslant 2+x_n\leqslant 4\,,\] et donc \[ 0\leqslant x_{n+1}=\sqrt{2+x_n}\leqslant \sqrt{4}=2\,,\] donc ces inégalités sont vraies aussi pour \(n+1\).
   
   Montrons ensuite que \((x_n)\) est croissante, en montrant que \[ x_{n+1}=\sqrt{2+x_n}\geqslant x_n\quad \forall n\geqslant 0\,. \] Or \[ \sqrt{2+x}\geqslant x \quad\Leftrightarrow\quad x\in [-2,2]\,, \] ce qui implique bien que \(x_{n+1}\geqslant x_n\) pour tout \(n\geqslant 0\). Ainsi, \(x_n\) est croissante et majorée par \(2\), donc elle converge. Comme \(g(x)\) est continue sur \([-2,2]\), la limite est forcément égale au point fixe: \[ \lim_{n\to\infty}x_n=2\,. \]
2. Cas \(x_0\gt 2\): Montrons que cette condition initiale implique que \[ x_n\geqslant 2 \qquad \forall n\geqslant 0\,. \] En effet, si elle est vraie our un certain \(n\), alors elle est vraie aussi pour \(n+1\) puisque \[ x_{n+1}=\sqrt{2+x_n}\geqslant \sqrt{2+2}=2\,. \] Montrons ensuite que \((x_n)\) est décroissante, en montrant que \[ x_{n+1}=\sqrt{2+x_n}\leqslant x_n\quad \forall n\geqslant 0\,. \] Or \[ \sqrt{2+x}\leqslant x \quad\Leftrightarrow\quad x\geqslant 2\,, \] ce qui implique bien que \(x_{n+1}\leqslant x_n\) pour tout \(n\geqslant 0\). Ainsi, \(x_n\) est décroissante et minorée par \(2\), donc elle converge. Comme \(g(x)\) est continue sur \([2,+\infty[\), la limite est forcément égale au point fixe: \[\lim_{n\to\infty}x_n=2\,. \]

Une étude de \(g(x)=\frac{2x}{\sqrt{1+x^2}}\):

• \(g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) est impaire et continue
• \(\lim_{x\to\pm\infty}g(x)=\pm 2\)
• \(g\) possède trois points fixes: \(-\sqrt{3}, 0, +\sqrt{3}\).

• Si \(x_0=0\) alors \((x_n)\) est constante et tend vers \(0\).
• Si \(0\lt x_0\leqslant \sqrt{3}\), alors \((x_n)\) est croissante et tend vers \(\sqrt{3}\).
• Si \(0\gt x_0\geqslant -\sqrt{3}\), alors \((x_n)\) est décroissante et tend vers \(-\sqrt{3}\).
• Si \(x_0\geqslant \sqrt{3}\), alors \((x_n)\) est décroissante et tend vers \(\sqrt{3}\).
• Si \(x_0\leqslant -\sqrt{3}\), alors \((x_n)\) est croissante et tend vers \(-\sqrt{3}\).

1. FAUX
2. FAUX
3. VRAI
4. FAUX
5. FAUX

\[\begin{aligned} z\cdot (z'\cdot z'')&= (x,y)\cdot \bigl((x',y')\cdot(x'',y'')\bigr)\\ &=(x,y)\cdot\bigl(x'x''-y'y'',x'y''+y'x''\bigr)\\ &=\bigl(x(x'x''-y'y'')-y(x'y''+y'x''),x(x'y''+y'x'')+y(x'x''-y'y'')\bigr)\\ &=\bigl((xx'-yy')x''-(xy'+yx')y'',(xx'-yy')y''+(xy'+yx')x''\bigr)\\ &=\bigl(xx'-yy',xy'+yx'\bigr)\cdot(x'',y'')\\ &=\bigl((x,y)\cdot(x',y')\bigr)\cdot(x'',y'')\\ &=(z\cdot z')\cdot z'' \end{aligned}\]

\[ \mathrm{Arg }\left(\frac{1}{z^2}\right) =\mathrm{Arg }(z^{-2}) =-\mathrm{Arg }(z^2) =-2\mathrm{Arg }(z) \]

Comme \[ z= -1+\mathsf{i} \sqrt{3}=2\left(-\frac12 +\mathsf{i}\frac{\sqrt{3}}{2}\right) =2e^{\mathsf{i}\frac{2\pi}{3}}\,, \] la formule de Moivre donne \[ z^5=2^5 e^{\mathsf{i} 5\cdot\frac{2\pi}{3}}\,, \] et donc \[\begin{aligned} \mathrm{Im}(z^5) =2^5\sin\left(\frac{10\pi}{3}\right) &=2^5\sin\left(\frac{12-2\pi}{3}\right)\\ &=2^5\sin\left(4\pi-\frac{2\pi}{3}\right)\\ &=2^5\sin\left(-\frac{2\pi}{3}\right)\\ &=2^5\cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) =-16\sqrt{3} \end{aligned}\]

On sait que \(z=1+\mathsf{i} \sqrt{3}=2e^{\mathsf{i}\frac{\pi}{3}}\), donc

1. \(|z^6|=2^6=64\lt 73\)
2. \(\mathrm{Arg }(z^{14})=\frac{14\pi}{3}=4\pi+\frac{2\pi}{3}\), donc \(z\) a une partie imaginaire non nulle.
3. \(\mathrm{Re}(z^8)=2^8\cos(8\frac{\pi}{3})=2^8\cos(2\frac{\pi}{3})\lt 0\)
4. \(\mathrm{Im}(z^{11}) =2^{11}\sin(11\frac{\pi}{3}) =2^{11}\sin(-\frac{\pi}{3})\lt 0\)

Comme \(z\) est de la forme \(z=e^{\mathsf{i} \theta}\), on a que \[ z^5+\frac{1}{z^5}= e^{\mathsf{i} 5\theta}+ e^{-\mathsf{i} 5\theta}=2\cos(5\theta)\,, \] qui est un nombre réel. Question: si \(|z|\neq 1\), est-ce que le résultat est encore vrai?

Voir la vidéo de MichaelPenn

C'est faux. Contre-exemple: \(a_n=\sqrt{n}\).

Par exemple: \(a_n=\log(\log(\log(n)))\), \(n\geqslant 3\). Puisque \(a_n\to+\infty\) cette suite n'est pas de Cauchy. Pourtant, \[\begin{aligned} a_{n^2}-a_n &=\log(\log(\log(n^2))-\log(\log(\log(n)))\\ &=\log(\log(2\log(n))-\log(\log(\log(n)))\\ &=\log(\log(2)+\log(\log(n)))-\log(\log(\log(n)))\\ &=\log\left(\log(\log(n))\left(1+\frac{\log(2)}{\log(\log(n))}\right)\right)-\log(\log(\log(n)))\\ &=\log\left(1+\frac{\log(2)}{\log(\log(n))}\right) \to \log(1)=0 \end{aligned}\] On peut aussi considérer \(a_n=(-1)^n\).

Remarquons que cette suite est très semblable à celle de l'Ex-05-05.

1. On sait que \(u_0\in \mathbb{Q}\). Si \(u_n\in\mathbb{Q}\) pour un certain \(n\), alors \[ u_{n+1}= \underbrace{ \underbrace{\frac{u_n}{2}}_{\in\mathbb{Q}} + \underbrace{\frac{c}{2u_n}}_{\in\mathbb{Q}} }_{\in\mathbb{Q}} \]
2. Comme l'unique point fixe positif de \(g(x)=\frac{x}{2}+\frac{c}{2x}\) est \(\sqrt{c}\), en procédant comme dans l'Ex-05-05, on en déduit que \(u_n\to\sqrt{c}\).
3. Soit \(c\) tel que \(\sqrt{c}\) soit irrationnel (par exemple \(c=2\)). La suite \(u_n\in\mathbb{Q}\) construite ci-dessus est convergente, mais sa limite \(\sqrt{c}\not\in\mathbb{Q}\).
   
   Ceci montre que si l'on voulait faire de l'analyse dans \(\mathbb{Q}\) uniquement, alors on n'aurait pas l'équivalence entre ''être convergente'' et ''être de Cauchy''.