Séance Contact 04, Lundi 7 oct

Communications:

Exercice 1:
  1. Montrer que si \(x_{n}\to L\) (lorsque \(n\to\infty\)), alors toute sous-suite \(x_{n_k}\to L\) (lorsque \(k\to\infty\)).
  2. Utiliser le résultat du point précédent dans la partie 1. de l'Ex-04-03: \(x_n=(1+\frac{1}{n^2})^{n^2}\).

  1. Soit \(\varepsilon\gt 0\). Puisque \(x_n\to L\), il existe \(N\) tel que \(|x_k-L|\leqslant \varepsilon\) pour tout \(k\geqslant N\). Remarquons que quelle que soit la suite d'entiers strictement croissante \(0\leqslant n_0\lt n_1\lt n_2\lt \dots\), on a toujours \(k\leqslant n_k\). Et donc \(k\geqslant N\) entraîne \(n_k\geqslant N\), ce qui implique \(|x_{n_k}-L|\leqslant \varepsilon\) pour tout \(k\geqslant N\).
  2. Dans l'Ex-04-03, on a considéré \(x_k=(1+\frac{1}{k^2})^{k^2}\), qui est en fait la sous-suite de \(e_n=(1+\frac{1}{n})^n\), pour \(n_k=k^2\). Puisque \(e_n\to e\), on a que \(x_k=e_{k^2}\to e\).

Limite supérieure/inférieure

Exercice 2: Considérer la suite \(a_n=\frac{(-1)^n}{n}\), \(n\geqslant 1\).
  1. Calculer \(M_1,M_2,M_3,M_4\).
  2. Donner la valeur de \(M_n\), pour tout \(n\geqslant 1\).
  3. Calculer \(\limsup_{n\to\infty}a_n\).

  1. \[\begin{aligned} M_1&=\sup\{a_1,a_2,a_3,\dots\}=a_2=\frac12\\ M_2&=\sup\{a_2,a_3,a_4,\dots\}=a_2=\frac12\\ M_3&=\sup\{a_3,a_4,a_5,\dots\}=a_4=\frac14\\ M_4&=\sup\{a_4,a_5,a_6,\dots\}=a_4=\frac14 \end{aligned}\] \item \[ M_n= \begin{cases} \frac{1}{n}&n\text{ pair}\,,\\ \frac{1}{n+1}&n\text{ impair}\,. \end{cases} \]
  2. Comme les limites de long des indices pairs et impairs sont les mêmes et égales à zéro, on conclut que \[ \limsup_{n\to\infty}a_n=\lim_{n\to\infty}M_n=0\,. \]

Utile pour calculer des limites supérieures/inférieures:

Théorème: Soit \((a_n)\) une suite bornée. Si \[ \lim_{k\to \infty}a_{2k}=L_1 \qquad \text{ et }\qquad \lim_{k\to \infty}a_{2k+1}=L_2\,, \] alors \[\begin{aligned} \liminf_{n\to\infty}a_n&=\min\{L_1,L_2\}\\ \limsup_{n\to\infty}a_n&=\max\{L_1,L_2\} \end{aligned}\]


Exercice 3: Utiliser le théorème pour calculer les limites inférieures et supérieures de \[ x_n=\frac{n^{2+(-1)^n}+\log(5n)}{n^3+\sqrt{n}} \]

Si \(n\) est pair, \[ x_{n} =\frac{n^3+\log(5n)}{n^3+\sqrt{n}} =\frac{1+\frac{\log(5n)}{n^3}}{1+\frac{1}{n^{5/2}}}\,, \] donc \(x_{2k}\to 1\). Si \(n\) est impair, \[ x_n =\frac{n+\log(5n)}{n^3+\sqrt{n}} =\frac{1}{n^2}\cdot \frac{1+\frac{\log(5n)}{n}}{1+\frac{1}{n^{5/2}}}\,, \] donc \(x_{2k+1}\to 0\). On conclut: \[ \liminf_{n\to\infty}x_n=\min\{0,1\}=0\,, \qquad \limsup_{n\to\infty}x_n=\max\{0,1\}=1\,. \]

Remarque: Le théorème ci-dessus se généralise: Si on peut décomposer une suite bornée \((a_n)_n\) en un nombre fini de sous-suites \((a_{n^1_k})_k\), \((a_{n^2_k})_k\), ..., \((a_{n^m_k})_k\), de façon à ce que chaque élément de la suite originale \(a_n\) soit visité exactement une fois par une de ces sous-suites, et si \[ a_{n^1_k}\to L_1,\quad a_{n^2_k}\to L_2,\quad \dots\quad a_{n^m_k}\to L_m, \] alors \[\begin{aligned} \liminf_{n\to\infty}a_n&=\min\{L_1,\dots,L_m\}\\ \limsup_{n\to\infty}a_n&=\max\{L_1,\dots,L_m\} \end{aligned}\]

Quiz : (2019) Soit \((a_n)\) la suite définie par \[ a_n= \sin\left(\frac{\pi}{4}+n\frac{\pi}{2}\right) + \cos\left(\frac{\pi}{4}+n\frac{\pi}{2}\right) \] Alors
  1. \(\displaystyle \liminf_{n\to\infty}a_n=-2\) et \(\displaystyle \limsup_{n\to\infty}a_n=2\)
  2. \(\displaystyle \liminf_{n\to\infty}a_n=-\sqrt{2}\) et \(\displaystyle \limsup_{n\to\infty}a_n=0\)
  3. \(\displaystyle \liminf_{n\to\infty}a_n=-\sqrt{2}\) et \(\displaystyle \limsup_{n\to\infty}a_n=+\sqrt{2}\)
  4. \(\displaystyle \liminf_{n\to\infty}a_n=0\) et \(\displaystyle \limsup_{n\to\infty}a_n=+\sqrt{2}\)

On considère les sous-suites \(a_{4k}\), \(a_{4k+1}\), \(a_{4k+2}\), \(a_{4k+3}\), qui visitent bien toute la suite \(a_n\). Or ces sous-suites sont constantes (donc convergentes et égales à leurs limites): \[ a_{4k}=\sqrt{2}\,,\quad a_{4k+1}=0\,,\quad a_{4k+2}=-\sqrt{2}\,,\quad a_{4k+3}=0\,. \] Donc \[\begin{aligned} \liminf_{n\to\infty}a_n&=\min\{-\sqrt{2},0,\sqrt{2}\}=-\sqrt{2}\\ \limsup_{n\to\infty}a_n&=\max\{-\sqrt{2},0,\sqrt{2}\}=\sqrt{2} \end{aligned}\]


Exercice 4: (C'est le Quiz 3.11-1, point 8.) Montrer que si \((a_n)\) est une suite majorée dont la limite supérieure vaut \(L\), alors pour tout \(\varepsilon\gt 0\) il existe \(N\in\mathbb{N}\) tel que \(a_k\leqslant L+\varepsilon\) pour tout \(k\geqslant N\).

Par définition, \[ \limsup_{n\to\infty}a_n=\lim_{n\to\infty}M_n=L\,. \] Fixons \(\varepsilon\gt 0\). Puisque \(M_n\to L\), il existe \(N\) tel que \(|M_n-L|\leqslant\varepsilon\) pour tout \(n\geqslant N\). En particulier, \(M_N\leqslant L+\varepsilon\). Mais, puisque \(M_N\) majore \(\{a_N,a_{N+1},\dots\}\), on a que \[ a_k\leqslant M_n\leqslant L+\varepsilon\,,\qquad \forall k\geqslant N. \]

Suites de Cauchy

Exercice 5: Vrai ou faux? Soit \((x_n)\) une suite majorée.
  1. Si \((x_n)\) est croissante, alors c'est une suite de Cauchy.
  2. Si pour tout \(\varepsilon\gt 0\) il existe \(m,n\) tels que \(|x_n-x_m|\leqslant \varepsilon\), alors \((x_n)\) est une suite de Cauchy.
  3. Si \(\limsup_{n\to\infty}x_n\) existe, alors \((x_n)\) est une suite de Cauchy

  1. Vrai. Étant majorée et croissante, \((x_n)\) converge, et donc c'est une suite de Cauchy.
  2. Faux. Par exemple, la suite \(x_n=(-1)^n\) satisfait à la condition, mais elle diverge et donc ce n'est pas une suite de Cauchy.
  3. Faux. (On sait que la limite supérieure peut exister sans que la suite converge.) Par exemple, \(x_n=(-1)^n\) a \(\limsup_{n}x_n=1\), mais elle diverge donc ce n'est pas une suite de Cauchy.

Suites définies par récurrence

Exercice 6: Donner un exemple de suite définie par récurrence qui soit
  1. strictement croissante, convergente
  2. strictement croissante, divergente
  3. strictement décroissante, convergente
  4. strictement décroissante, divergente
  5. constante

Bien sûr, les exemples \(x_{n+1}=g(x_n)\) suggérés ci-dessous ne sont que des suggestions. Testez les vôtres sur l'appli!

  1. Exemple vu au cours: \(x_0=1\), \(x_{n+1}=1+\frac{x_n}{2}\)
  2. \(x_{n+1}=x_n+1\), n'importe quelle condition initiale
  3. Exemple vu au cours: \(x_0=3\), \(x_{n+1}=1+\frac{x_n}{2}\)
  4. \(x_{n+1}=x_n-1\), n'importe quelle condition initiale
  5. Il suffit de prendre une suite qui a pour condition initiale un point fixe de \(g\). Par exemple: \(g(x)=1+\frac{x}{2}\) avec \(x_0=2\).




Exercice 7: Soit \(x_{n+1}=g(x_n)\) où \(g(x)=a+bx\) (\(a,b\in\mathbb{R}\)). Calculer \(x_n\) explicitement en fonction de \(n\) et de la condition initiale \(x_0\).

On vérifie facilement (procéder comme dans le polycopié) que pour tout \(n\), \[ x_n=a(1+b+b^2+\dots+b^{n-1})+b^nx_0 \] Lorsque \(b=1\), cette dernière devient \[ x_n=an+b^nx_0 \] Lorsque \(b\neq 1\), on peut utiliser la formule pour la somme géométrique et écrire \[ x_n=a\frac{1-b^n}{1-b}+b^nx_0 \]

Révision
Quiz : Soit \((a_n)\) une suite telle que \(|a_{n+1}|<|a_{n}|\) pour tout \(n\). Vrai ou faux?
  1. \((|a_n|)\) converge.
  2. \((a_n)\) converge.
  3. \((a_n)\) possède une sous-suite convergente.
Quiz : (2020) Soit \((a_n)_{n\geqslant 0}\) définie par \(\displaystyle a_n=\frac{(n+3)^{1/2}-n^{1/2}}{(n+1)^{-1/2}}\). Alors
  1. \(\displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n=0\)
  2. \(\displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n=\frac32\)
  3. \(\displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n=3\)
  4. \(\displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n=+\infty\)

Exercice 8: Soit \(r\in \mathbb{R}\setminus\{1\}\), et \(0\leqslant k\leqslant n\) deux entiers. Montrer que \[ \sum_{j=k}^nr^j=\frac{r^k-r^{n+1}}{1-r}\,. \]

On exprime la somme à l'aide de deux sommes géométriques: \[\begin{aligned} \sum_{j=k}^nr^j &=\sum_{j=0}^nr^j-\sum_{j=0}^{k-1}r^j\\ &=\frac{1-r^{n+1}}{1-r}-\frac{1-r^k}{1-r}\\ &=\frac{r^k-r^{n+1}}{1-r} \end{aligned}\]

Quiz : (2018) La limite inférieure \(\displaystyle \liminf_{n\to\infty}\frac{\log(n+e^n)\sin(n\frac{\pi}{2})}{n}\) vaut
  1. \(\frac{2}{\pi}\)
  2. \(0\)
  3. \(+1\)
  4. \(-1\)

Exercice 9: (Facultatif!) Étudier les limites
  1. \(\displaystyle \lim_{n\to\infty}\sin(n)\)
  2. \(\displaystyle \lim_{n\to\infty}\sin(\pi\sqrt{4n^2-n})\)

Pour la première, essayer de minorer la limite supérieure et de majorer la limite inférieure. Pour la deuxième, remarquer que pour tout \(n\), par la périodicité du sinus, \[ \sin(\pi\sqrt{4n^2-n}) = \sin(\pi(\sqrt{4n^2-n}{\color{blue}-2n})) \]

  1. On montre que cette limite n'existe pas. Considérons les intervalles \[\begin{aligned} I_k&=[\tfrac{\pi}{4}+2k\pi,\tfrac{3\pi}{4}+2k\pi]\\ J_k&=[\tfrac{5\pi}{4}+2k\pi,\tfrac{7\pi}{4}+2k\pi]\,, \end{aligned}\] pour \(k=0,1,2,\dots\) Remarquons que ces intervalles ont tous longueur \(\frac{\pi}{2}=1.517\dots\), et contiennent donc chacun au moins un entier. Pour l'entier \(n_k\in I_k\), on a \[ \sin(n_k)\geqslant \frac{\sqrt{2}}{2}\,, \] et pour l'entier \(n_k'\in J_k\) on a \[ \sin(n_k')\leqslant -\frac{\sqrt{2}}{2}\,, \] ce qui implique \[ \limsup_{n\to\infty}\sin(n)\geqslant \frac{\sqrt{2}}{2}\,,\qquad \liminf_{n\to\infty}\sin(n)\leqslant -\frac{\sqrt{2}}{2}\,. \] Ainsi, la suite \(\sin(n)\) ne peut pas converger.

    Remarque: On peut en fait montrer (mais c'est plus dur!) que \[ \limsup_{n\to\infty}\sin(n)=+1\,,\qquad \liminf_{n\to\infty}\sin(n)=-1\,. \]
  2. Voir la vidéo de Michael Penn.