Sur le feedback indicatif: vous avez jusqu'à dimanche 13 octobre (minuit) pour dire si vous êtes d'accord
avec l'affirmation
''Le déroulement du cours permet ma formationet un climat de classe approprié'', et pour écrire un petit commentaire.
Cette semaine: nombres complexes.
Un commentaire à propos de
\(a_n=\sqrt{n^2+n}-\sqrt{n}\) (cas particulier de l'Ex-04-07) et
\(y_n=(1+\frac{1}{n})^{n^2}\) (Ex-04-03).
Exercice 1:
Montrer que si \(x_{n}\to L\) (lorsque \(n\to\infty\)), alors toute sous-suite
\(x_{n_k}\to L\) (lorsque \(k\to\infty\)).
Utiliser le résultat du point précédent
dans la partie 1. de l'Ex-04-03: \(x_n=(1+\frac{1}{n^2})^{n^2}\).
Soit \(\varepsilon\gt 0\).
Puisque \(x_n\to L\), il existe \(N\) tel que \(|x_k-L|\leqslant \varepsilon\) pour tout
\(k\geqslant N\).
Remarquons que quelle que soit la suite d'entiers strictement croissante
\(0\leqslant n_0\lt n_1\lt n_2\lt \dots\), on a toujours \(k\leqslant n_k\).
Et donc \(k\geqslant N\) entraîne \(n_k\geqslant N\), ce qui implique \(|x_{n_k}-L|\leqslant
\varepsilon\) pour tout \(k\geqslant N\).
Dans l'Ex-04-03, on a considéré \(x_k=(1+\frac{1}{k^2})^{k^2}\), qui est
en fait la sous-suite de \(e_n=(1+\frac{1}{n})^n\), pour \(n_k=k^2\). Puisque
\(e_n\to e\), on a que \(x_k=e_{k^2}\to e\).
Limite supérieure/inférieure
Exercice 2:
Considérer la suite \(a_n=\frac{(-1)^n}{n}\), \(n\geqslant 1\).
Calculer \(M_1,M_2,M_3,M_4\).
Donner la valeur de \(M_n\), pour tout
\(n\geqslant 1\).
Comme les limites de long des indices pairs et impairs sont les mêmes et
égales à zéro, on conclut que
\[ \limsup_{n\to\infty}a_n=\lim_{n\to\infty}M_n=0\,.
\]
Utile pour calculer des limites supérieures/inférieures:
Théorème:
Soit \((a_n)\) une suite bornée. Si
\[
\lim_{k\to \infty}a_{2k}=L_1
\qquad \text{ et }\qquad
\lim_{k\to \infty}a_{2k+1}=L_2\,,
\]
alors
\[\begin{aligned}
\liminf_{n\to\infty}a_n&=\min\{L_1,L_2\}\\
\limsup_{n\to\infty}a_n&=\max\{L_1,L_2\}
\end{aligned}\]
Exercice 3:
Utiliser le théorème pour calculer les limites inférieures et supérieures de
\[
x_n=\frac{n^{2+(-1)^n}+\log(5n)}{n^3+\sqrt{n}}
\]
Solution
Si \(n\) est pair,
\[
x_{n}
=\frac{n^3+\log(5n)}{n^3+\sqrt{n}}
=\frac{1+\frac{\log(5n)}{n^3}}{1+\frac{1}{n^{5/2}}}\,,
\]
donc \(x_{2k}\to 1\).
Si \(n\) est impair,
\[
x_n
=\frac{n+\log(5n)}{n^3+\sqrt{n}}
=\frac{1}{n^2}\cdot
\frac{1+\frac{\log(5n)}{n}}{1+\frac{1}{n^{5/2}}}\,,
\]
donc \(x_{2k+1}\to 0\).
On conclut:
\[
\liminf_{n\to\infty}x_n=\min\{0,1\}=0\,,
\qquad
\limsup_{n\to\infty}x_n=\max\{0,1\}=1\,.
\]
Remarque:
Le théorème ci-dessus se généralise:
Si on peut décomposer une suite bornée
\((a_n)_n\) en un nombre fini de sous-suites
\((a_{n^1_k})_k\),
\((a_{n^2_k})_k\),
...,
\((a_{n^m_k})_k\),
de façon à ce que chaque élément de la suite originale
\(a_n\) soit visité exactement
une fois par une de ces sous-suites, et si
\[
a_{n^1_k}\to L_1,\quad
a_{n^2_k}\to L_2,\quad \dots\quad
a_{n^m_k}\to L_m,
\]
alors
\[\begin{aligned}
\liminf_{n\to\infty}a_n&=\min\{L_1,\dots,L_m\}\\
\limsup_{n\to\infty}a_n&=\max\{L_1,\dots,L_m\}
\end{aligned}\]
Quiz :
(2019) Soit \((a_n)\) la suite définie par
\[
a_n=
\sin\left(\frac{\pi}{4}+n\frac{\pi}{2}\right)
+
\cos\left(\frac{\pi}{4}+n\frac{\pi}{2}\right)
\]
Alors
\(\displaystyle \liminf_{n\to\infty}a_n=-2\)
et
\(\displaystyle \limsup_{n\to\infty}a_n=2\)
\(\displaystyle \liminf_{n\to\infty}a_n=-\sqrt{2}\)
et
\(\displaystyle \limsup_{n\to\infty}a_n=0\)
\(\displaystyle \liminf_{n\to\infty}a_n=-\sqrt{2}\)
et
\(\displaystyle \limsup_{n\to\infty}a_n=+\sqrt{2}\)
\(\displaystyle \liminf_{n\to\infty}a_n=0\)
et
\(\displaystyle \limsup_{n\to\infty}a_n=+\sqrt{2}\)
On considère les sous-suites
\(a_{4k}\),
\(a_{4k+1}\),
\(a_{4k+2}\),
\(a_{4k+3}\), qui visitent bien toute la suite \(a_n\).
Or ces sous-suites sont constantes (donc convergentes et égales à leurs limites):
\[
a_{4k}=\sqrt{2}\,,\quad
a_{4k+1}=0\,,\quad
a_{4k+2}=-\sqrt{2}\,,\quad
a_{4k+3}=0\,.
\]
Donc
\[\begin{aligned}
\liminf_{n\to\infty}a_n&=\min\{-\sqrt{2},0,\sqrt{2}\}=-\sqrt{2}\\
\limsup_{n\to\infty}a_n&=\max\{-\sqrt{2},0,\sqrt{2}\}=\sqrt{2}
\end{aligned}\]
Exercice 4:
(C'est le Quiz 3.11-1, point 8.)
Montrer que
si \((a_n)\) est une suite majorée dont la limite supérieure vaut \(L\), alors
pour tout \(\varepsilon\gt 0\) il existe \(N\in\mathbb{N}\) tel que \(a_k\leqslant L+\varepsilon\)
pour tout \(k\geqslant N\).
Solution
Par définition,
\[ \limsup_{n\to\infty}a_n=\lim_{n\to\infty}M_n=L\,.
\]
Fixons \(\varepsilon\gt 0\). Puisque \(M_n\to L\), il existe \(N\) tel que
\(|M_n-L|\leqslant\varepsilon\) pour tout \(n\geqslant N\).
En particulier, \(M_N\leqslant L+\varepsilon\).
Mais, puisque
\(M_N\) majore \(\{a_N,a_{N+1},\dots\}\), on a que
\[
a_k\leqslant M_n\leqslant L+\varepsilon\,,\qquad \forall k\geqslant N.
\]
Suites de Cauchy
Exercice 5:
Vrai ou faux?
Soit \((x_n)\) une suite majorée.
Si \((x_n)\) est croissante, alors c'est une suite de Cauchy.
Si pour tout \(\varepsilon\gt 0\) il existe \(m,n\) tels que \(|x_n-x_m|\leqslant
\varepsilon\), alors \((x_n)\) est une suite de Cauchy.
Si \(\limsup_{n\to\infty}x_n\) existe, alors \((x_n)\) est une suite de
Cauchy
Vrai. Étant majorée et croissante, \((x_n)\) converge, et donc c'est une
suite de Cauchy.
Faux. Par exemple, la suite \(x_n=(-1)^n\) satisfait à la condition, mais
elle diverge et donc ce n'est pas une suite de Cauchy.
Faux. (On sait que la limite supérieure peut exister sans que la suite
converge.) Par exemple, \(x_n=(-1)^n\) a \(\limsup_{n}x_n=1\), mais elle diverge
donc ce n'est pas une suite de Cauchy.
Suites définies par récurrence
Exercice 6:
Donner un exemple de suite définie par récurrence qui soit
Bien sûr, les exemples \(x_{n+1}=g(x_n)\) suggérés ci-dessous ne sont que des suggestions. Testez
les vôtres sur l'appli!
Exemple vu au cours: \(x_0=1\), \(x_{n+1}=1+\frac{x_n}{2}\)
\(x_{n+1}=x_n+1\), n'importe quelle condition initiale
Exemple vu au cours: \(x_0=3\), \(x_{n+1}=1+\frac{x_n}{2}\)
\(x_{n+1}=x_n-1\), n'importe quelle condition initiale
Il suffit de prendre une suite qui a pour condition initiale un point fixe
de \(g\). Par exemple: \(g(x)=1+\frac{x}{2}\) avec \(x_0=2\).
Exercice 7:
Soit \(x_{n+1}=g(x_n)\) où \(g(x)=a+bx\) (\(a,b\in\mathbb{R}\)).
Calculer \(x_n\) explicitement en fonction de \(n\) et de la condition initiale
\(x_0\).
On vérifie facilement (procéder comme dans le polycopié) que pour tout \(n\),
\[
x_n=a(1+b+b^2+\dots+b^{n-1})+b^nx_0
\]
Lorsque \(b=1\), cette dernière devient
\[
x_n=an+b^nx_0
\]
Lorsque \(b\neq 1\), on peut utiliser la formule pour la somme géométrique
et écrire
\[
x_n=a\frac{1-b^n}{1-b}+b^nx_0
\]
Révision
Quiz :
Soit \((a_n)\) une
suite telle que \(|a_{n+1}|<|a_{n}|\) pour tout \(n\).
Vrai ou faux?
\((|a_n|)\) converge.
\((a_n)\) converge.
\((a_n)\) possède une sous-suite convergente.
Quiz :
(2020)
Soit \((a_n)_{n\geqslant 0}\) définie par
\(\displaystyle a_n=\frac{(n+3)^{1/2}-n^{1/2}}{(n+1)^{-1/2}}\).
Alors
\(\displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n=0\)
\(\displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n=\frac32\)
\(\displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n=3\)
\(\displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n=+\infty\)
Exercice 8:
Soit \(r\in \mathbb{R}\setminus\{1\}\), et \(0\leqslant k\leqslant n\) deux entiers. Montrer que
\[
\sum_{j=k}^nr^j=\frac{r^k-r^{n+1}}{1-r}\,.
\]
Solution
On exprime la somme à l'aide de deux sommes géométriques:
\[\begin{aligned}
\sum_{j=k}^nr^j
&=\sum_{j=0}^nr^j-\sum_{j=0}^{k-1}r^j\\
&=\frac{1-r^{n+1}}{1-r}-\frac{1-r^k}{1-r}\\
&=\frac{r^k-r^{n+1}}{1-r}
\end{aligned}\]
Quiz :
(2018)
La limite inférieure
\(\displaystyle \liminf_{n\to\infty}\frac{\log(n+e^n)\sin(n\frac{\pi}{2})}{n}\)
vaut
Pour la première, essayer de minorer la limite supérieure et de majorer la
limite inférieure.
Pour la deuxième, remarquer que pour tout \(n\), par la périodicité du sinus,
\[
\sin(\pi\sqrt{4n^2-n})
=
\sin(\pi(\sqrt{4n^2-n}{\color{blue}-2n}))
\]
On montre que cette limite n'existe pas.
Considérons les intervalles
\[\begin{aligned}
I_k&=[\tfrac{\pi}{4}+2k\pi,\tfrac{3\pi}{4}+2k\pi]\\
J_k&=[\tfrac{5\pi}{4}+2k\pi,\tfrac{7\pi}{4}+2k\pi]\,,
\end{aligned}\]
pour \(k=0,1,2,\dots\)
Remarquons que ces intervalles ont tous longueur \(\frac{\pi}{2}=1.517\dots\),
et contiennent donc chacun au moins un entier.
Pour l'entier \(n_k\in I_k\), on a
\[
\sin(n_k)\geqslant \frac{\sqrt{2}}{2}\,,
\]
et pour l'entier \(n_k'\in J_k\) on a
\[
\sin(n_k')\leqslant -\frac{\sqrt{2}}{2}\,,
\]
ce qui implique
\[
\limsup_{n\to\infty}\sin(n)\geqslant \frac{\sqrt{2}}{2}\,,\qquad
\liminf_{n\to\infty}\sin(n)\leqslant -\frac{\sqrt{2}}{2}\,.
\]
Ainsi, la suite \(\sin(n)\) ne peut pas converger.
Remarque: On peut en fait montrer (mais c'est plus dur!) que
\[
\limsup_{n\to\infty}\sin(n)=+1\,,\qquad
\liminf_{n\to\infty}\sin(n)=-1\,.
\]