2.3 Combinaisons linéaires et parties engendrés
Soient \(\boldsymbol{v}_1,\boldsymbol{v}_2,\dots,\boldsymbol{v}_k\) des vecteurs de \(\mathbb{R}^n\). Une somme du type \[ \lambda_1\boldsymbol{v}_1+\dots+\lambda_k\boldsymbol{v}_k\,, \] où les \(\lambda_1,\lambda_2,\dots,\lambda_k\) sont des scalaires fixés, est appelée combinaison linéaire des vecteurs \(\boldsymbol{v}_1,\dots,\boldsymbol{v}_k\). Les scalaires \(\lambda_j\) sont les coefficients de la combinaison linéaire.
Dans \(\mathbb{R}^2\), considérons \(\boldsymbol{v}_1=\binom{3}{5}\), \(\boldsymbol{v}_2=\binom{-1}{2}\). En prenant \(\lambda_1=-2\), \(\lambda_2=3\), \[ \lambda_1\boldsymbol{v}_1+\lambda_2\boldsymbol{v}_2= -2\binom{3}{5}+3\binom{-1}{2}= \binom{-9}{-4}\,. \] Fixons maintenant un vecteur: \(\boldsymbol{w}=\binom{5}{-2}\), et posons la question: peut-on écrire \(\boldsymbol{w}\) comme une combinaison linéaire de \(\boldsymbol{v}_1\), \(\boldsymbol{v}_2\)? Il s'agit donc de voir si il existe des scalaires \(\lambda_1,\lambda_2\) tels que \[ \lambda_1\boldsymbol{v}_1+\lambda_2\boldsymbol{v}_2=\boldsymbol{w}\,. \] Lorsqu'on exprime cette relation en composantes, \[ \binom{3\lambda_1-\lambda_2}{5\lambda_1+2\lambda_2} = \binom{5}{-2} \] Puisque deux vecteurs sont égaux si et seulement si leurs composantes sont égales deux-à-deux, on en déduit que \(\lambda_1\) et \(\lambda_2\) doivent être solution du système \[ \left\{ \begin{array}{c} 3\lambda_1 &-& \lambda_2 &=&5 \\ 5\lambda_1 &+& 2\lambda_2 &=&-2 \end{array} \right. \] La solution de ce système est unique, donnée par \(\lambda_1=\frac{8}{11}\), \(\lambda_2=\frac{-31}{11}\). On en déduit que \(\boldsymbol{w}\) est bien combinaison linéaire de \(\boldsymbol{v}_1\) et \(\boldsymbol{v}_2\): \[ \boldsymbol{w}=\tfrac{8}{11}\boldsymbol{v}_1-\tfrac{31}{11}\boldsymbol{v}_2\,. \]
Plus généralement, fixons deux vecteurs \(\boldsymbol{v}_1\) et \(\boldsymbol{v}_2\) dans le plan, et considérons toutes les combinaisons linéaires de la forme \[ \boldsymbol{w}=\lambda_1\boldsymbol{v}_1+\lambda_2\boldsymbol{v}_2\,,\qquad \lambda_1,\lambda_2\in \mathbb{R}\,. \]


On remarque que
Dans \(\mathbb{R}^3\), considérons \[ \boldsymbol{v}_1= \begin{pmatrix} -3\\ 2\\ 0 \end{pmatrix} \,,\quad \boldsymbol{v}_2= \begin{pmatrix} 1\\ 1\\ -1 \end{pmatrix} \,,\quad \boldsymbol{w}= \begin{pmatrix} 4\\ 0\\ 3 \end{pmatrix} \] Est-ce que \(\boldsymbol{w}\) est combinaison linéaire de \(\boldsymbol{v}_1\) et \(\boldsymbol{v}_2\)? Pour le savoir, cherchons \(\lambda_1,\lambda_2\) tels que \[ \lambda_1\boldsymbol{v}_1+\lambda_2\boldsymbol{v}_2=\boldsymbol{w}\,, \] qui mène au système \[ \left\{ \begin{array}{c} -3\lambda_1 &+& \lambda_2 &=&4 \\ 2\lambda_1 &+& \lambda_2 &=&0 \\ &-& \lambda_2 &=&3 \end{array} \right. \] Ce système est incompatible, donc \(\boldsymbol{w}\) ne peut pas s'écrire comme combinaison linéaire de \(\boldsymbol{v}_1\) et \(\boldsymbol{v}_2\).
Ce dernier exprime un fait géométrique intuitif. En effet, toutes les combinaisons linéaires possibles de deux vecteurs non-colinéaires de \(\mathbb{R}^3\) ne donneront que des vecteurs contenus dans un plan, et le \(\boldsymbol{w}\) ci-dessus n'est pas dans ce plan:

Dans ce dernier exemple, on a répondu à une question à propos d'une combinaison linéaire en l'exprimant sous la forme d'un système linéaire. Dans la section suivante nous ferons l'inverse, en montrant qu'un système linéaire peut se traduire en une question de combinaison linéaire.


Parties engendrées

En algèbre linéaire, utiliser des combinaisons linéaires est l'opération de base permettant de créer des nouveaux vecteurs à partir d'une famille de vecteurs donnés.

Soient \(\boldsymbol{v}_1,\dots,\boldsymbol{v}_p\) des vecteurs de \(\mathbb{R}^n\) donnés. La partie de \(\mathbb{R}^n\) engendrée par la famille \(\{\boldsymbol{v}_1,\dots,\boldsymbol{v}_p\}\), notée \[\mathrm{Vect}\{\boldsymbol{v}_1,\dots,\boldsymbol{v}_p\}\,,\] est définie comme l'ensemble des vecteurs de \(\mathbb{R}^n\) qui peuvent s'écrire comme combinaison linéaire des vecteurs \(\boldsymbol{v}_1,\dots,\boldsymbol{v}_p\): \[\boldsymbol{w}=\lambda_1\boldsymbol{v}_1+\cdots+\lambda_p\boldsymbol{v}_p\,.\]

Pour les familles contenant un ou deux vecteurs:

Même si cette terminologie (''droite'', ''plan'') est empruntée à la géométrie du plan \((n=2)\) et de l'espace (\(n=3\)), nous l'utiliserons aussi dans les dimensions supérieures (\(n\gt 3\)).

Quiz 2.3-1 : Soient \(\boldsymbol{v}_1,\dots,\boldsymbol{v}_p\) des vecteurs de \(\mathbb{R}^3\), et soit \(W=\mathrm{Vect}\{\boldsymbol{v}_1,\dots,\boldsymbol{v}_p\}\). Vrai ou faux?
  1. \(W\) contient le vecteur nul \(\boldsymbol{0}\).
  2. Si \(p=2\), alors \(W\) est un plan.
  3. Si \(p>2\), alors \(W\) n'est pas un plan.
  4. Si \(\boldsymbol{w}_1,\boldsymbol{w}_2\in W\), alors \(\alpha_1\boldsymbol{w}_1+\alpha_2\boldsymbol{w}_2\in W\), peu importe les valeurs des scalaires \(\alpha_1,\alpha_2\).