Exercice 03-01
  1. Soit \((x_n)_{n\geqslant 0}\) la suite dont le graphe est le suivant:
    Pour cette suite, donner explicitement
    1. l'ensemble \(A=\{n:x_n<0\}\)
    2. l'ensemble \(B=\{n:x_n\geqslant 1\}\).
    3. l'ensemble \(C=\{n:|x_n-1|\leqslant \frac12\}\).
    4. un entier \(N\) tel que \(x_n\gt 2\) pour tout \(n\geqslant N\).
  2. Soit \((y_n)\) la suite dont le graphe est le suivant:
    Pour cette suite, donner
    1. l'ensemble \(A'=\{n:y_n\geqslant 1\}\).
    2. l'ensemble \(B'=\{n:|y_n-1|\leqslant \frac{1}{2}\}\).
    3. un entier \(N\) tel que \(|y_n-1|\leqslant \frac{1}{2}\) pour tout \(n\geqslant N\).
    4. l'ensemble \(C'=\{n:|y_n|\leqslant \frac{1}{2}\}\).
    5. un entier \(N\) tel que \(|y_n|\leqslant \frac{1}{2}\) pour tout \(n\geqslant N\).
Cet exercice est un exercice de sensibilisation: il ne s'agit pas de donner les réponses trop précises.

Le but ici est de s'habituer à bien distinguer, pour une suite \((x_n)_{n\geqslant 0}\) représentée à l'aide de son graphe, Dans les deux cas considérés, on supposera que le graphe donné, qui ne représente que le tout début de la suite, présente un comportement qui se poursuit pour les termes suivants. (Oui, parce que si on ne voit que les premiers termes d'une suite, on ne sait en fait rien sur les suivants...)
Pour \((x_n)_{n\geqslant 0}\):
  1. \(A=\{1,3,5,7,9,11,13,15,17,19\}\)
  2. \(B=\{0,2,4,6,8,\dots,36,38,40\}\cup\{41,42,43,44,45,46,\dots\}\)
  3. \(C=\{0,2,4,6,8,10,31,33,35,37,39,41,43,45,47,49,51,53\}\)
  4. \(N=61\)
Pour \((y_n)_{n\geqslant 1}\):
  1. \(A'=\{1,2,8\}\)
  2. \(B'=\{5,8,12,14,16,17,20,21\}\)
  3. Il n'existe manifestement pas d'entier \(N\) avec cette propriété.
  4. \(C'=\{6,9,13,15,19,22,23,24,25,26,27,28,\dots\}\)
  5. \(N=25\)