Exercice 05-01
Déterminer, parmi les suites ci-dessous, celles qui sont bornées. Lorsqu'une suite est bornée, on donnera une sous-suite convergente, ainsi que la valeur de sa limite.
  1. \(a_n=(-1)^n\)
  2. \(a_n=(-1)^{n^2-n}\)
  3. \(a_n=(1+(-1)^n)^n\)
  4. \(a_n=\sin(n\frac{\pi}{3})+\cos(n\frac{\pi}{2})\)
Le Théorème de Bolzano-Weierstrass affirme que toute suite bornée possède une sous-suite convergente. En général, cette sous-suite n'est pas exprimable explicitement.

Dans cet exercice, lorsque le théorème s'applique, on se propose de trouver explicitement une sous-suite convergente.

Remarque: Lorsqu'une suite \((a_n)_n\) possède une sous-suite \((a_{n_k})_k\) convergente, alors elle en possède une infinité. En effet, toute sous-suite de \((a_{n_k})_k\) sera aussi une sous-suite de \((a_n)_n\), et sera aussi convergente.

  1. Cette suite est bornée car \(|a_n|\leqslant 1\) pour tout \(n\), mais elle ne converge pas. Comme sous-suites, on peut par exemple prendre les indices pairs, et dans ce cas \(a_{2k}\to 1\). En prenant les impairs, \(a_{2k+1}\to -1\).
  2. Cette suite est bornée car \(|a_n|\leqslant 1\) pour tout \(n\). Puisque \(n^2-n=n(n-1)\) est toujours un nombre pair (\(n\) et \(n-1\) étant deux entiers consécutifs, l'un d'eux doit être pair), on a \(a_n=1\) pour tout \(n\), et donc sa limite est \(1\).

    Donc n'importe quelle sous-suite tendra aussi vers \(1\), mais il n'est pas ''nécessaire'' de passer à une sous-suite pour avoir de la convergence.
  3. Cette suite n'est pas bornée, car \(a_n=2^n\) si \(n\) est pair, et \(a_n=0\) si \(n\) est impair. Donc le Théorème de Bolzano-Weierstrass ne s'applique pas.

    Pourtant, \((a_n)\) possède quand-même une sous-suite convergente: la sous-suite le long des indices impairs est constante et \(a_{2k+1}=0\), donc elle converge.
  4. Cette suite est bornée, \(|a_n|\leqslant 2\), mais ne converge pas. Remarquons que \(n\mapsto \sin(n\frac{\pi}{3})\) a une période de \(6\), alors que \(n\mapsto \cos(n\frac{\pi}{2})\) a une période de \(4\). Donc en prenant les comme sous-suite les indices qui sont multiples de \(\mathrm{ppmc}(6,4)=12\), on obtient: \(a_{12k}=1\) pour tout \(k\), et donc \(a_{12k}\to 1\).