Exercice 04-05
Calculer les sommes suivantes. (On suppose partout que \(|r|<1\).)
  1. \(\displaystyle \sum_{k=N}^\infty r^k\) (\(N\in \mathbb{N}^*\))
  2. \(\displaystyle \sum_{k=3}^\infty \frac{(-1)^{k+1}}{7^k}\)
  3. \(\displaystyle \sum_{k=1}^\infty \frac{2^k+3^k}{5^k}\)
  4. \(1-r^3+r^5-r^7+r^9+\cdots\)
  5. \(r+r^2-r^3+r^4+r^5-r^6+r^7+r^8-r^9+\cdots\)
  6. \(\displaystyle \sum_{k=0}^\infty (\tfrac12+\tfrac{(-1)^k}{3})^k\)
Toutes ces sommes peuvent se calculer, après quelques manipulations, à partir de la série géométrique.

Même si on ne fera l'étude systématique des séries que plus tard, on s'autorise ici déjà quelques manipulations informelles, qui seront justifiées plus tard.
Remarque: On utilise ici quelques manipulations formelles de sommes infinies, qui seront justifiées plus tard dans le chapitres sur les séries.
  1. \[\begin{aligned} \sum_{k=N}^\infty r^k&=r^N+r^{N+1}+r^{N+2}+r^{N+3}+\dots\\ &= r^N(1+r+r^2+\dots)\\ &=\frac{r^N}{1-r}\,. \end{aligned}\] (Ce qu'on a fait ici et qui devrait être justifié, c'est d'avoir mis \(r^N\) en évidence dans une somme infinie, alors que c'est a priori autorisé seulement pour une somme finie.)
  2. En réarrangeant un peu, on fait apparaître une série géométrique de raison \(r=-\frac{1}{7}\): \[\begin{aligned} \sum_{k=3}^\infty \frac{(-1)^{k+1}}{7^k} &=(-1)\sum_{k=3}^\infty \bigl(\tfrac{-1}{7}\bigr)^k\\ &=(-1)(-\tfrac17)^3\sum_{k=0}^\infty(-\tfrac17)^k\\ &= \tfrac{1}{7^3}\frac{1}{1-(-\tfrac17)}=\frac{1}{8\cdot 7^2}\,. \end{aligned}\]
  3. On verra plus tard que si deux séries \(\sum_na_n\) et \(\sum_nb_n\) convergent, alors \(\sum_n(a_n+b_n)=\sum_na_n+\sum_nb_n\). Donc \[ \sum_{k=1}^\infty \frac{2^k+3^k}{5^k}= \sum_{k=1}^\infty (\tfrac{2}{5})^k+ \sum_{k=1}^\infty (\tfrac35)^k =\frac{13}{6}\,. \]
  4. En mettant un \(r^3\) en évidence, \[\begin{aligned} 1-r^3+r^5&-r^7+r^9+\cdots\\ &=1-r^3(1-r^2+r^4-r^6+r^8-\cdots)\\ &=1-r^3\frac{1}{1+r^2}\,. \end{aligned}\]
  5. On réarrange la somme de départ en trois séries: \[\begin{aligned} r&+r^2-r^3+r^4+r^5-r^6+\cdots\\ =&(r+r^2-r^3)+(r^4+r^5-r^6)+\cdots\\ =&(r+r^4+r^7+\cdots)+(r^2+r^5+r^8+\dots)-(r^3+r^6+r^9+\cdots)\\ =&r(1+r^3+r^6+\cdots)+r^2(1+r^3+r^6+\dots)-r^3(1+r^3+r^6+\cdots)\\ =&\frac{r}{1-r^3}+\frac{r^2}{1-r^3}-\frac{r^3}{1-r^3}\\ =&\frac{r(1+r-r^2)}{1-r^3} \end{aligned}\] (Ici, à la troisième ligne on a séparé une somme infinie en trois sommes infinies, une opération qui sera souvent interdite dans des situations plus générales!)

    On aurait aussi pu faire comme ça: \[\begin{aligned} r&+r^2-r^3+r^4+r^5-r^6+\cdots\\ =&(r+r^2+r^3+r^4+r^5+r^6+\cdots)-2(r^3+r^6+r^9+\cdots)\\ =&\frac{r}{1-r}-2r^3(1+r^3+r^6+\cdots)\\ =&\frac{r}{1-r}-2r^3(1+r^3+(r^3)^2+\cdots)\\ =&\frac{r}{1-r}-2r^3\frac{1}{1-r^3}\\ =&\frac{r(1+r-r^2)}{1-r^3} \end{aligned}\]
  6. Comme \[ \frac12+\frac{(-1)^n}{3} = \begin{cases} \frac16& \text{ si n impair},\\ \frac56& \text{ si n pair}\,, \end{cases} \] on peut écrire \[\begin{aligned} &\sum_{k=0}^\infty (\tfrac12+\tfrac{(-1)^k}{3})^k \\ &=1+\tfrac16+(\tfrac56)^2+(\tfrac16)^3+(\tfrac56)^4\cdots\\ &=\Bigl\{1+\tfrac16+(\tfrac16)^3+(\tfrac16)^5+\cdots\Bigr\} +\Bigl\{(\tfrac56)^2+(\tfrac56)^4+(\tfrac56)^6+\cdots\Bigr\}\,. \end{aligned}\] Pour la première somme, en posant \(r_1=(\frac16)^2\), \[\begin{aligned} 1+\tfrac16+(\tfrac16)^3&+(\tfrac16)^5+\cdots\\ &=1+\tfrac16\bigl(1+(\tfrac16)^2+(\tfrac16)^4+(\tfrac16)^6+\cdots\bigr)\\ &=1+\tfrac16\bigl(1+r_1+r_1^2+r_1^3+\cdots\bigr)\\ &=1+\tfrac16\frac{1}{1-r_1}\\ &=1+\tfrac16\frac{1}{1-(\frac16)^2}\\ &=1+\frac{6}{35} \end{aligned}\] Pour la deuxième somme, en posant \(r_2=(\frac56)^2\), \[\begin{aligned} (\tfrac56)^2+(\tfrac56)^4&+(\tfrac56)^6+\cdots\\ &=(\tfrac56)^2\bigl(1+(\tfrac56)^2+(\tfrac56)^4+\cdots\bigr)\\ &=(\tfrac56)^2\bigl(1+r_2+r_2^2+\cdots\bigr)\\ &=(\tfrac56)^2\frac{1}{1-r_2}\\ &=(\tfrac56)^2\frac{1}{1-(\frac56)^2}\\ &=\frac{25}{11}\,. \end{aligned}\] Ainsi, \[ \sum_{k=0}^\infty (\tfrac12+\tfrac{(-1)^k}{3})^k =1+\frac{6}{35}+\frac{25}{11}\,. \]