Exercice 05-05
Considérer la suite \((a_n)\) définie par \(a_1:=10\) et, pour \(n\geqslant 1\), \[ a_{n+1}:=\frac{a_{n}}{2}+\frac{1}{a_n}\,. \]
  1. Montrer que \(a_n> \sqrt{2}\) pour tout \(n\).
  2. Montrer que \((a_n)\) est décroissante.
  3. Conclure que \((a_n)\) converge et calculer sa limite.

Écrire explicitement la différence \(a_{n+1}-\sqrt{2}\), mettre au même dénominateur, et montrer que la fraction obtenue est \(\gt 0\) pour tout \(n\).

Utiliser 1.


Cet exercice est intéressant parce qu'il fournit un exemple d'une suite rationelle (\(a_n\in \mathbb{Q}\) pour tout \(n\)) dont la limite est irrationnelle: \(\lim_{n\to \infty}a_n\not\in\mathbb{Q}\).
  1. On remarque d'abord que \(a_n>0\) pour tout \(n\). Ensuite, on remarque que \(a_1=10>\sqrt{2}\). Par récurrence, on suppose que \(a_n>\sqrt{2}\) et on utilise \[ a_{n+1}-\sqrt{2} =\frac{a_n}{2}+\frac{1}{a_n}-\sqrt{2} =\frac{a_n^2+2-2\sqrt{2}a_n}{2 a_n} = \frac{(a_n-\sqrt{2})^2}{2a_n}>0\,. \]
  2. Calculons: \[ a_{n+1}-a_n = \left(\frac{a_n}{2}+\frac{1}{a_n}\right)-a_n =\frac{2-a_n^2}{2a_n}<0\,, \] donc la suite est décroissante.
  3. Comme \((a_n)\) est minorée et décroissante, elle converge, \(\lim_{n\to \infty}a_n=\ell\), et comme \(g(x)=\frac{x}{2}+\frac{1}{x}\) est continue sur \(]0,\infty[\), \(\ell\) ne peut qu'être un point fixe de \(g\): \(\ell=g(\ell)\), ce qui s'écrit \[ \ell=\frac{\ell}{2}+\frac{1}{\ell}\,. \] On en déduit que \(\ell^2=2\). Comme \(a_n>\sqrt{2}\) pour tout \(n\), on doit avoir \(\ell\geqslant \sqrt{2}\), et donc la limite est \(\ell=+\sqrt{2}\).

    Remarque: Cette suite donne un exemple d'une suite de rationnels (on voit par récurrence que chaque \(a_n\) est rationnel) convergente, mais dont la limite \(\ell=\sqrt{2}\) est irrationnelle. Donc \((a_n)\) est un exemple de suite de Cauchy qui ne converge pas (dans \(\mathbb{Q}\)).