Remarquons que \(a_n\gt 1\) si \(n\) est pair, \(a_n\lt 1\) si \(n\) est impair. On a donc, pour \(n\geqslant 2\) \[\begin{aligned} M_n&=\sup\{a_n,a_{n+1},\dots\}\\ &=\sup\{a_k\,:\,k\geqslant n, k\text{ pair}\}\\ &=\sup\{1+\tfrac{1}{k}\,:\,k\geqslant n, k\text{ pair}\}\\ &= \begin{cases} 1+\frac{1}{n}&\text{ si n est pair,}\\ 1+\frac{1}{n+1}&\text{ si n est impair,} \end{cases} \end{aligned}\] ce qui signifie \[\begin{aligned} M_1&=M_2=1+\frac12\,,\\ M_3&=M_4=1+\frac14\,,\\ M_5&=M_6=1+\frac16\,,... \end{aligned}\] Donc \(M_n\) est bien décroissante, minorée (par \(1\)), et \(\lim_{n\to\infty}M_n=1\). Donc \[ \limsup_{n\to\infty}a_n=1\,. \] Aussi, \[\begin{aligned} m_n&=\inf\{a_n,a_{n+1},\dots\}\\ &=\inf\{a_k\,:\,k\geqslant n, k\text{ impair}\}\\ &=\inf\{-(1+\tfrac{1}{k})\,:\,k\geqslant n, k\text{ impair}\}\\ &= \begin{cases} -(1+\frac{1}{n})&\text{ si n est impair,}\\ -(1+\frac{1}{n+1})&\text{ si n est pair.} \end{cases} \end{aligned}\] On a donc \[\begin{aligned} m_1&=-1-\frac11\,,\\ m_2&=m_3=-\left(1+\frac13\right)\,,\\ m_4&=m_5=-\left(1+\frac15\right)\,... \end{aligned}\] Donc \(m_n\) est croissante, majorée par \(1\), et \(\lim_nm_n=-1\). Donc \[ \liminf_{n\to\infty}a_n=-1\,. \]