Exercice 05-02
Soit \((a_n)\) une suite bornée. Vrai ou faux?
  1. Si \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}|a_n|=a\gt 0\), alors \(\displaystyle\limsup_{n\to \infty}a_n=a\).
  2. Si \(\displaystyle\limsup_{n\to \infty}|a_n|=0\), alors \((a_n)\) tend vers zéro.
  3. Si \(\displaystyle\limsup_{n\to \infty}a_n=0\), alors \(a_n \leqslant 0\) pour tout \(n\).
  4. \(\displaystyle\limsup_{n\to\infty}a_n=\inf\{M_1,M_2,\dots\}\), où \(M_k=\sup\{a_k,a_{k+1},\dots\}\).
  1. FAUX. Prendre par exemple la suite constante \(a_n=-1\). Alors \(\lim_{n\to\infty}|a_n|=1\), mais \[ \limsup_{n\to\infty} a_n= \lim_{n\to\infty}a_n=-1\,. \]
  2. VRAI. En effet, comme \[ 0 \leqslant\liminf_{n\to \infty}|a_n| \leqslant \limsup_{n\to \infty}|a_n|=0\,, \] on a \[ \liminf_{n\to \infty}|a_n| =\limsup_{n\to \infty}|a_n|=0\,. \] Ainsi, \(\lim_{n\to \infty}|a_n|=0\) et donc \(\lim_{n\to\infty}a_n=0\).
  3. FAUX. Prendre par exemple \(a_n=\frac{1}{n}\), \(n\geqslant 1\), pour laquelle \(\limsup_{n\to\infty}a_n=0\). Pourtant, \(a_n\gt 0\) pour tout \(n\geqslant 1\).
  4. VRAI. En effet, par définition, \[\limsup_{n\to\infty}a_n=\lim_{k\to\infty}M_k\,, \] où \(M_k=\sup\{a_k,a_{k+1},\dots\}\) est décroissante. Le théorème fondamental vu au cours montre qu'une suite décroissante et minorée converge, et que sa limite est en fait son infimum: \[ \lim_{k\to\infty}M_k=\inf \{M_1,M_2,\dots\}\,. \]